# 1987年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）与两直线 $\left\{ \begin{array}{l}x = 1,\\ y = -1 + t,\\ z = 2 + t \end{array} \right.$ 及 $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$ 都平行，且过原点的平面方程为  
（2）当 $x =$ 时，函数 $y = x2^{x}$ 取得极小值  
（3）由曲线 $y = \ln x$ 与两直线 $y = (\mathrm{e} + 1) - x$ 及 $y = 0$ 所围成的平面图形的面积为  
（4）设 $L$ 为取正向的圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ ，则曲线积分 $\oint_{L}(2xy - 2y)\mathrm{d}x + (x^{2} - 4x)\mathrm{d}y$ 的值为  
（5）已知3维线性空间的一组基为 $\alpha_{1} = (1,1,0),\alpha_{2} = (1,0,1),\alpha_{3} = (0,1,1)$ ，则向量 $\pmb{\alpha} =$ （2，0，0）在上述基底下的坐标为

# 二、（本题满分8分）

求正常数 $a$ 与 $b$ ，使得 $\lim_{x\to 0}\frac{1}{bx - \sin x}\int_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a + t^2}}\mathrm{d}t = 1$ 成立.

# 三、（本题满分7分）

(1)（本题满分3分）设函数 $f, g$ 连续可微， $u = f(x, xy), v = g(x + xy)$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ .

(2)（本题满分4分）设矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{AB} = \mathbf{A} + 2\mathbf{B}$ ，其中 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ ，求矩阵 $\mathbf{B}$ .

# 四、（本题满分8分）

求微分方程 $y^{\prime \prime} + 6y^{\prime \prime} + (9 + a^{2})y^{\prime} = 1$ 的通解，其中常数 $a > 0$

# 五、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

（1）设常数 $k > 0$ ，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{k + n}{n^{2}} (\quad)$

（A）发散

（B）绝对收敛

（C）条件收敛

(D) 收敛或发散与 $k$ 的取值有关

(2) 设 $I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(tx) \, \mathrm{d}x$ ，其中 $f(x)$ 为连续数， $s > 0, t > 0$ ，则 $I$ 的值（ ）.

（A）依赖于 $s,t$

（B）依赖于 $s,t,x$

（C）依赖于 $t, x$ ，不依赖于 $s$

（D）依赖于 $s$ ，不依赖于 $t$

（3）设 $\lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^2} = -1$ ，则在点 $x = a$ 处（ ）.

(A) $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}(a) \neq 0$

(B) $f(x)$ 取得极大值

(C) $f(x)$ 取得极小值

(D) $f(x)$ 的导数不存在

（4）设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $|\mathbf{A}| = a\neq 0,\mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵，则 $|\mathbf{A}^{*}| = (\quad)$

(A) $a$

(B) $\frac{1}{a}$

(C) $a^{n - 1}$

(D) $a^n$

# 六、（本题满分10分）

求幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n2^n} x^{n - 1}$ 的收敛域，并求其和函数.

# 七、（本题满分10分）

计算曲面积分 $I = \iint_{S} x (8y + 1) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + 2(1 - y^2) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x - 4yz \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，其中 $S$ 是由曲线 $\left\{ \begin{array}{l} z = \sqrt{y - 1}, \\ x = 0 \end{array} \right.$ ，（ $1 \leqslant y \leqslant 3$ ）绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与 $y$ 轴正向的夹角大于 $\frac{\pi}{2}$ .

# 八、（本题满分10分）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可微，对于[0,1]上的每个 $x$ ，函数的值都在区间(0,1）内，且 $f^{\prime}(x)\neq 1$ ，证明：在(0,1）内有且仅有一个 $x$ ，使得 $f(x) = x$

# 九、（本题满分8分）

问 $a, b$ 为何值时，线性方程组 $\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, \\ x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4} = 1, \\ -x_{2} + (a - 3)x_{3} - 2x_{4} = b, \\ 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + ax_{4} = -1 \end{array} \right.$ 有唯一解？无解？有无穷多个

解？并求出有无穷多个解时的通解

# 十、填空题（本题共3小题，每小题2分，共6分）

（1）假设在一次试验中，事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，现进行 $n$ 次独立试验，则 $A$ 至少发生一次的概率为 ，而事件 $A$ 至多发生一次的概率为  
（2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 .已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为  
（3）已知连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\mathrm{e}^{-x^2 +2x - 1}$ ，则 $X$ 的数学期望为________， $X$ 的方差为________.

# 十一、（本题满分6分）

设随机变量 $X, Y$ 相互独立，其概率密度函数分别为

$$
f _ {X} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & 0 <   x <   1, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right. f _ {Y} (y) = \left\{ \begin{array}{l l} \mathrm {e} ^ {- y}, & y > 0, \\ 0, & y \leqslant 0, \end{array} \right.
$$

求随机变量 $Z = 2X + Y$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$