# 1988年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）

（1）求幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(x - 3)^n}{n\cdot 3^n}$ 的收敛域.

(2) 已知 $f(x) = \mathrm{e}^{x^2}, f[\varphi(x)] = 1 - x$ ，且 $\varphi(x) \geqslant 0$ ，求 $\varphi(x)$ ，并写出其定义域.

（3）设 $S$ 为曲面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的外侧，计算曲面积分 $I = \iint_{S} x^{3} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + y^{3} \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + z^{3} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y.$

# 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

（1）设 $f(t) = \lim_{x\to \infty}t\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2tx}$ ，则 $f^{\prime}(t) = \_$

（2）设 $f(x)$ 是周期为2的周期函数，它在区间 $(-1,1]$ 上的表达式为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}2, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ x^3, & 0 <   x <   1, \end{array} \right.$ 则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x = 1$ 处收敛于

（3）设 $f(x)$ 是连续函数，且 $\int_0^{x^3 -1}f(t)\mathrm{d}t = x$ ，则 $f(7) = \underline{\quad}$

（4）设4阶矩阵 $A = (\alpha, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4), B = (\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4)$ ，其中 $\alpha, \beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ 都是4维列向量，且 $|\mathbf{A}| = 4, |\mathbf{B}| = 1$ ，则 $|\mathbf{A} + \mathbf{B}| =$ ______.

# 三、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）若函数 $y = f(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x_0) = \frac{1}{2}$ ，则当 $\Delta x \to 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的微分 $\mathrm{dy}$ 是（ ）.

（A）与 $\Delta x$ 等价的无穷小

（B）与 $\Delta x$ 同阶的无穷小

（C）比 $\Delta x$ 低阶的无穷小

（D）比 $\Delta x$ 高阶的无穷小

(2) 设 $y = f(x)$ 是微分方程 $y'' - 2y' + 4y = 0$ 的一个解，若 $f(x_0) > 0$ 且 $f'(x_0) = 0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处（ ）.

（A）取得极大值

（B）取得极小值

（C）某邻域内单调增加

(D) 某邻域内单调减少

(3) 设空间区域 $\Omega_{1}: x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant R^{2} (z \geqslant 0)$ ; $\Omega_{2}: x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant R^{2} (x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0)$ , 则（ ）.

(A) $\iiint_{\Omega_1} x \, \mathrm{d}v = 4 \iiint_{\Omega_2} x \, \mathrm{d}v$

(B) $\iiint_{\Omega_1} y \, \mathrm{d}v = 4 \iiint_{\Omega_2} y \, \mathrm{d}v$

(C) $\iiint_{\Omega_1} z \, \mathrm{d}v = 4 \iiint_{\Omega_2} z \, \mathrm{d}v$

(D) $\iiint_{\Omega_1} xyz \, \mathrm{d}v = 4 \iiint_{\Omega_2} xyz \, \mathrm{d}v$

(4) 若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - 1)^n$ 在 $x = -1$ 处收敛, 则该级数在 $x = 2$ 处（ ）.

（A）条件收敛

（B）绝对收敛

（C）发散

（D）收敛性不确定

(5) $n$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}(3\leqslant s\leqslant n)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）.

（A）有一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} \alpha_{2} + \dots + k_{s} \alpha_{s} \neq 0$   
(B) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 中任意两个向量都线性无关  
(C) $\pmb{\alpha}_{1}, \pmb{\alpha}_{2}, \dots, \pmb{\alpha}_{s}$ 中存在一个向量，它不可由其余向量线性表示  
(D) $\pmb{\alpha}_{1}, \pmb{\alpha}_{2}, \dots, \pmb{\alpha}_{s}$ 中任意一个向量都不可由其余向量线性表示

# 四、（本题满分6分）

设 $u = yf\left(\frac{x}{y}\right) + xg\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f, g$ 具有二阶连续导数，求 $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ .

# 五、（本题满分8分）

设函数 $y = y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime} - 3y^{\prime} + 2y = 2\mathrm{e}^{x}$ ，且其图形在点(0，1）处的切线与曲线 $y = x^{2} - x + 1$ 在该点的切线重合，求函数 $y = y(x)$

# 六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力大小为 $\frac{k}{r^2} (k > 0$ 为常数， $r$ 为质点 $A$ 与质点 $M$ 之间的距离），质点 $M$ 沿曲线 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 从点 $B(2,0)$ 运动到点 $O(0,0)$ ，求此运动过程中质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力所做的功.

# 七、（本题满分6分）

已知 $\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{P}\mathbf{B}$ ，其中 $\pmb {B} = \left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right),\pmb {P} = \left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$ ，求 $\mathbf{A}$ 及 $\pmb{A}^{5}$

# 八、（本题满分8分）

已知矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}$ 与 $\pmb {B} = \left( \begin{array}{lll}2 & 0 & 0\\ 0 & y & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$ 相似.

(1) 求 $x, y$   
(2) 求一个满足 $P^{-1}AP = B$ 的可逆矩阵 $P$ .

# 九、（本题满分9分）

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 内有 $f^{\prime}(x) > 0$ 。证明：在 $(a,b)$ 内存在唯一的 $\xi$ ，使曲线 $y = f(x)$ 与两直线 $y = f(\xi), x = a$ 所围成的平面图形的面积 $S_{1}$ 是曲线 $y = f(x)$ 与两直线 $y = f(\xi), x = b$ 所围成平面图形面积 $S_{2}$ 的3倍。

# 十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分）

（1）设三次独立重复试验中，事件 $A$ 出现的概率相等，若已知 $A$ 至少出现一次的概率为 $\frac{19}{27}$ ，则事件 $A$ 在一次试验中出现的概率为 ______.  
（2）在区间(0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$ ”的概率为  
（3）设随机变量 $X$ 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，已知 $\Phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u,$ $\Phi (2.5) = 0.9938$ ，则 $X$ 落在区间(9.95，10.05）内的概率为

# 十一、(本题满分6分)

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_{X}(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^{2})}$ ，求随机变量 $Y = 1 - \sqrt[3]{X}$ 的概率密度函数 $f_{Y}(y)$