# 1989年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）已知 $f^{\prime}(3) = 2$ ，则 $\lim_{h\to 0}\frac{f(3 - h) - f(3)}{2h} = \underline{\quad}$   
（2）设 $f(x)$ 是连续函数，且 $f(x) = x + 2\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t$ ，则 $f(x) = \_$   
（3）设平面曲线 $L$ 为下半圆 $y = -\sqrt{1 - x^2}$ ，则曲线积分 $\int_{L}(x^{2} + y^{2})\mathrm{d}s = \underline{\quad}$   
（4）向量场 $\pmb {u}(x,y,z) = xy^{2}\pmb {i} + ye^{z}\pmb {j} + x\ln (1 + z^{2})\pmb{k}$ 在点(1，1，0)处的散度 $\mathrm{div}\pmb {u} =$   
（5）设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $E = \left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ 则逆矩阵 $(\mathbf{A} - 2\mathbf{E})^{-1} =$

# 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）当 $x > 0$ 时，曲线 $y = x\sin \frac{1}{x} ($

（A）有且仅有水平渐近线  
(B) 有且仅有铅直渐近线  
（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线  
（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线

(2) 已知曲面 $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2x + 2y + z - 1 = 0$ ，则点 $P$ 的坐标为（ ）.

(A) $(1, - 1,2)$

(B)(-1,1,2)

(C)(1,1,2)

(D) $(-1, -1, 2)$

（3）设线性无关的函数 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都是二阶非齐次线性微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的特解， $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为（ ）.

(A) $C_1y_1 + C_2y_2 + y_3$   
(B) $C_1y_1 + C_2y_2 - (C_1 + C_2)y_3$   
(C) $C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} - (1 - C_{1} - C_{2})y_{3}$   
(D) $C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2})y_{3}$

（4）设函数 $f(x) = x^{2}(0\leqslant x < 1),S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}\sin n\pi x,(-\infty <  x <   + \infty)$ ，其中 $b_{n} = 2\int_{0}^{1}f(x)\sin n\pi x\mathrm{d}x(n = 1,2,\dots)$ ，则 $S\left(-\frac{1}{2}\right) = ()$

(A) $-\frac{1}{2}$

(B) $-\frac{1}{4}$

(C) $\frac{1}{4}$

(D) $\frac{1}{2}$

（5）设 $\mathbf{A}$ 为4阶矩阵，且 $|\mathbf{A}| = 0$ ，则 $\mathbf{A}$ 中（ ）.

（A）必有一列元素全为0  
（B）必有两列元素对应成比例  
（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合  
（D）任一列向量是其余列向量的线性组合

# 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)

（1）设 $z = f(2x - y) + g(x,xy)$ ，其中 $f(t)$ 二阶可导， $g(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$

（2）设曲线积分 $\int_{C} xy^{2} \, \mathrm{d}x + \varphi(x) y \, \mathrm{d}y$ 与路径无关，其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数，且 $\varphi(0) = 0$ 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} xy^{2} \, \mathrm{d}x + \varphi(x) y \, \mathrm{d}y$ 的值.

(3) 计算三重积分 $\iiint_{\Omega} (x + z) \, \mathrm{d}v$ ，其中 $\Omega$ 是由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 与 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 所围成的区域.

# 四、（本题满分6分）

将函数 $f(x) = \arctan{\frac{1 + x}{1 - x}}$ 展开成 $x$ 的幂级数.

# 五、（本题满分7分）

设 $f(x) = \sin x - \int_{0}^{x}(x - t)f(t)\mathrm{d}t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$

# 六、（本题满分7分）

证明：方程 $\ln x = \frac{x}{\mathrm{e}} - \int_{0}^{\pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, \mathrm{d}x$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内有且仅有两个不同的实根.

# 七、(本题满分6分)

问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组 $\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{3} = \lambda, \\ 4x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = \lambda + 2, \\ 6x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 2\lambda + 3 \end{array} \right.$ ，有解，并求出解的一般形式.

# 八、（本题满分8分）

设 $\lambda$ 为 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值，证明：

(1) $\frac{1}{\lambda}$ 为 $\mathbf{A}^{-1}$ 的特征值；  
(2) $\frac{|A|}{\lambda}$ 为 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值.

# 九、（本题满分9分）

设半径为 $R$ 的球面 $\Sigma$ 的球心在定球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}(a > 0)$ 上，问当 $R$ 取何值时，球面 $\Sigma$ 位于定球面内部的那部分面积最大？

# 十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分）

（1）已知随机事件 $A$ 的概率 $P(A) = 0.5$ ，随机事件 $B$ 的概率 $P(B) = 0.6$ ，以及条件概率 $P(B\mid A) = 0.8$ ，则 $P(A\cup B) = \_$   
(2)甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，已知目标被击中，则它是甲击中的概率为  
(3) 若随机变量 $\xi$ 在 (1,6) 上服从均匀分布，则方程 $x^{2} + \xi x + 1 = 0$ 有实根的概率为

# 十一、（本题满分6分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立，且 $X$ 服从均值为1、标准差为 $\sqrt{2}$ 的正态分布，而 $Y$ 服从标准正态分布，试求随机变量 $Z = 2X - Y + 3$ 的概率密度函数.