# 1990年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）过点 $M(1,2, - 1)$ 且与直线 $\left\{ \begin{array}{l}x = -t + 2,\\ y = 3t - 4,\\ z = t - 1 \end{array} \right.$ 垂直的平面方程为  
（2）设 $a$ 为非零常数，则 $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x + a}{x - a}\right)^x = \underline{\quad}.$   
（3）设函数 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}1, & |x|\leqslant 1,\\ 0, & |x| > 1, \end{array} \right.$ 则函数 $f[f(x)] =$   
（4）积分 $\int_0^2\mathrm{d}x\int_x^2\mathrm{e}^{-y^2}\mathrm{d}y = \underline{\quad}$   
（5）已知向量组 $\pmb{\alpha}_{1} = (1,2,3,4),\pmb{\alpha}_{2} = (2,3,4,5),\pmb{\alpha}_{3} = (3,4,5,6),\pmb{\alpha}_{4} = (4,5,6,7)$ ，则该向量组的秩为

# 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）设 $f(x)$ 为连续函数， $F(x) = \int_{x}^{\mathrm{e}^{-x}} f(t) \, \mathrm{d}t$ ，则 $F'(x) = (\quad)$ .

(A) $-\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x}) - f(x)$

(B) $-\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x}) + f(x)$

(C) $\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x}) - f(x)$

(D) $\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x}) + f(x)$

(2) 已知 $f(x)$ 具有任意阶连续导数，且 $f^{\prime}(x) = [f(x)]^{2}$ ，则当 $n$ 为大于2的正整数时， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x) = (\quad)$ .

(A) $n! [f(x)]^{n+1}$

(B) $n[f(x)]^{n + 1}$

(C) $[f(x)]^{2n}$

(D) $n! [f(x)]^{2n}$

（3）设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n\alpha}{n^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

（A）绝对收敛

（B）条件收敛

（C）发散

（D）收敛性与 $\alpha$ 的取值有关

（4）已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内连续，且 $f(0) = 0, \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = 2$ ，则在点 $x = 0$ 处 $f(x)$ （ ）.

（A）不可导

(B) 可导，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$

（C）取得极大值

（D）取得极小值

（5）已知 $\beta_{1},\beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $AX = b$ 的两个不同解， $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 是对应的齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系， $k_{1},k_{2}$ 为任意常数，则方程组 $AX = b$ 的通解为（ ）.

(A) $k_{1}\pmb{\alpha}_{1} + k_{2}(\pmb{\alpha}_{1} + \pmb{\alpha}_{2}) + \frac{\pmb{\beta}_{1} - \pmb{\beta}_{2}}{2}$   
(B) $k_{1}\pmb{\alpha}_{1} + k_{2}(\pmb{\alpha}_{1} - \pmb{\alpha}_{2}) + \frac{\pmb{\beta}_{1} + \pmb{\beta}_{2}}{2}$   
(C) $k_{1}\pmb{\alpha}_{1} + k_{2}(\pmb{\beta}_{1} + \pmb{\beta}_{2}) + \frac{\pmb{\beta}_{1} - \pmb{\beta}_{2}}{2}$   
(D) $k_{1}\pmb{\alpha}_{1} + k_{2}(\pmb{\beta}_{1} - \pmb{\beta}_{2}) + \frac{\pmb{\beta}_{1} + \pmb{\beta}_{2}}{2}$

# 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)

(1) 求 $\int_{0}^{1} \frac{\ln(1 + x)}{(2 - x)^{2}} \mathrm{d}x$ .   
（2）设 $z = f(2x - y, y \sin x)$ ，其中 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ .  
（3）求微分方程 $y^{\prime \prime} + 4y^{\prime} + 4y = \mathrm{e}^{-2x}$ 的通解

# 四、（本题满分6分）

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^{n}$ 的收敛域，并求其和函数.

# 五、（本题满分8分）

求曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} yz \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + 2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4 (z \geqslant 0)$ 的外侧.

# 六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$ ，证明：在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) > 0$

# 七、（本题满分6分）

设4阶矩阵 $\pmb{B} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\pmb {C} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 0 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ ，且矩阵 $\mathbf{A}$ 满足关系式

$\mathbf{A}(\mathbf{E} - \mathbf{C}^{-1}\mathbf{B})^{\mathrm{T}}\mathbf{C}^{\mathrm{T}} = \mathbf{E}$ ，其中 $\pmb{E}$ 为4阶单位矩阵， $C^{-1}$ 表示 $\pmb{c}$ 的逆矩阵， $C^{\mathrm{T}}$ 表示 $\pmb{c}$ 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 $\mathbf{A}$

# 八、（本题满分8分）

求一个正交变换，化二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 4x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} - 8x_{2}x_{3}$ 为标准形.

# 九、（本题满分8分）

质点 $P$ 沿着以 $AB$ 为直径的半圆周，从点 $A(1,2)$ 运动到点 $B(3,4)$ 的过程中受到力 $\pmb{F}$ 的作用（如图）， $\pmb{F}$ 的大小等于点 $P$ 到原点 $O$ 之间的距离，其方向垂直于线段 $OP$ ，且与 $y$ 轴正向的夹角小于 $\frac{\pi}{2}$ ，求变力 $\pmb{F}$ 对质点 $P$ 所做的功.

![](images/b38959760655b669fe62a3d460dbac87eae7f3847de9d767f162ae52b05630d2.jpg)  
九题图

# 十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分）

（1）已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|}, - \infty <  x <   + \infty$ ，则随机变量 $X$ 的概率分布函数为 $F(x) =$   
（2）设随机事件 $A, B$ 及其和事件 $A \cup B$ 的概率分别为0.4，0.3和0.6，设 $\overline{B}$ 为事件 $B$ 的对立事件，则 $P(A\overline{B}) = \_$   
(3) 已知离散型随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, 即 $P\{X = k\} = \frac{2^k}{k!}\mathrm{e}^{-2}(k = 0,1,2,\dots)$ , 则随机变量 $Z = 3X - 2$ 的数学期望 $E(Z) = \_$ .

# 十一、（本题满分6分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D = \{(x,y) \mid 0 < x < 1, |y| < x\}$ 内服从均匀分布，求关于 $X$ 的边缘概率密度及随机变量 $Z = 2X + 1$ 的方差 $D(Z)$ .

![](images/ae201c81b0550aa09dcb5ed7516c92a49ce98ec220e8ef483d6cd295a3f473b5.jpg)  
十二题图