# 1991年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）设 $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t^2,\\ y = \cos t, \end{array} \right.$ 则 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \_$   
(2) 由方程 $xyz + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2}$ 所确定的函数 $z = z(x, y)$ 在点 $(1, 0, -1)$ 处的全微分 $\mathrm{d}z = \_$   
(3) 已知两条直线方程为 $L_{1}: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{-1}, L_{2}: \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$ ，则过 $L_{1}$ 且平行于 $L_{2}$ 的平面方程是  
(4) 已知当 $x \to 0$ 时, $(1 + ax^2)^{\frac{1}{3}} - 1$ 与 $\cos x - 1$ 是等价无穷小, 则常数 $a = \_$ .  
（5）设4阶矩阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ ，则 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵 $A^{-1} =$

# 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

(1) 曲线 $y = \frac{1 + \mathrm{e}^{-x^2}}{1 - \mathrm{e}^{-x^2}}$

（A）没有渐近线

（B）仅有水平渐近线

（C）仅有铅直渐近线

（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线

（2）若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x) = \int_{0}^{2x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d}t + \ln 2$ ，则 $f(x)$ 等于（ ）.

(A) $\mathrm{e}^x\ln 2$

(B) $\mathrm{e}^{2x}\ln 2$

$\mathrm{(C)}\mathrm{e}^{x} + \ln 2$

$\mathrm{(D)}\mathrm{e}^{2x} + \ln 2$

（3）已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}a_n = 2,\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n - 1} = 5$ ，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ 等于（ ）.

(A)3

(B)7

(C)8

(D)9

（4）设 $D$ 是平面 $xOy$ 上以 $(1,1),(-1,1),(-1, - 1)$ 为顶点的三角形区域， $D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint \limits_{D}(xy + \cos x$ sin y)dxdy等于( ).

![](images/634fe177cf1f729f9d114f24f3d04fb677271ea74378b103b6b4de2f4ca2cac9.jpg)  
二（4）题图

(A) $2\iint_{D_1}\cos x\sin y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

(B) $2\iint_{D_1}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

(C) $4\iint \limits_{D_1}(xy + \cos x\sin y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

(D)0

（5）设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 满足关系式 $\mathbf{ABC} = \mathbf{E}$ ，其中 $\pmb{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则必有（ ）.

(A) $\mathbf{ACB} = \mathbf{E}$

(B) $\mathbf{CBA} = \mathbf{E}$

(C) $\mathbf{BAC} = \mathbf{E}$

(D) $\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{A} = \mathbf{E}$

# 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)

（1）求 $\lim_{x\to 0^{+}}(\cos {\sqrt{x}})^{\frac{\pi}{x}}.$

(2) 设 $n$ 是曲面 $2x^{2} + 3y^{2} + z^{2} = 6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量，求函数 $u = \frac{\sqrt{6x^2 + 8y^2}}{z}$ 在点 $P$ 处沿方向 $n$ 的方向导数.

(3) 求 $\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z) \, \mathrm{d}v$ ，其中 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{ \begin{array}{l} y^2 = 2z, \\ x = 0 \end{array} \right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z = 4$ 所围成的立体.

# 四、（本题满分6分）

在过点 $O(0,0)$ 和点 $A(\pi,0)$ 的曲线族 $y = a\sin x (a > 0)$ 中，求一条曲线 $L$ ，使沿该曲线从 $O$ 到 $A$ 的曲线积分 $\int_{L} (1 + y^{3}) \mathrm{d}x + (2x + y) \mathrm{d}y$ 的值最小.

# 五、（本题满分8分）

将函数 $f(x) = 2 + |x| (-1 \leqslant x \leqslant 1)$ 展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和.

# 六、（本题满分7分）

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在(0，1）内可导，且 $3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x = f(0)$ ，证明：在（0，1）内存在一点 $c$ ，使得 $f^{\prime}(c) = 0$

# 七、（本题满分8分）

设 $\alpha_{1} = (1,0,2,3),\alpha_{2} = (1,1,3,5),\alpha_{3} = (1, - 1,a + 2,1),\alpha_{4} = (1,2,4,a + 8)$ 及 $\pmb {\beta} = (1,1,b + 3,5)$

(1) $a, b$ 为何值时， $\pmb{\beta}$ 不可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示？  
(2) $a, b$ 为何值时， $\pmb{\beta}$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 唯一线性表示？并写出该表达式.

# 八、（本题满分6分）

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵， $\mathbf{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明： $|\mathbf{A} + \mathbf{E}| > 1$

# 九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 $P(x,y)$ 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 $PQ$ 长度的倒数（ $Q$ 是法线与 $x$ 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与 $x$ 轴平行.

# 十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）

（1）设随机变量 $X$ 服从均值为2、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2 < X < 4\} = 0.3$ ，则

$$
P \{X <   0 \} = \underline {{}}.
$$

(2) 随机地向半圆 $0 < y < \sqrt{2ax - x^2}$ ( $a > 0$ ) 内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比, 则原点与该点的连线与 $x$ 轴的夹角小于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为

# 十一、(本题满分6分)

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$
f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 \mathrm {e} ^ {- (x + 2 y)}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right.
$$

求随机变量 $Z = X + 2Y$ 的分布函数