# 1992年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）设函数 $y = y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x + y} + \cos (xy) = 0$ 确定，则 $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} = \_ .$

（2）函数 $u = \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ 在点 $M(1,2, - 2)$ 处的梯度grad $u|_{M} = \_ .$

（3）设 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} - 1, & -\pi < x \leqslant 0, \\ 1 + x^2, & 0 < x \leqslant \pi, \end{array} \right.$ 则其以 $2\pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x = \pi$ 处收敛于

（4）微分方程 $y^\prime +y\tan x = \cos x$ 的通解为

（5）设 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \dots & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \dots & a_{2}b_{n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & \dots & a_{n}b_{n} \end{bmatrix}$ ，其中 $a_i\neq 0,b_i\neq 0,i = 1,2,\dots ,n$ ，则矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩

$$
r (\mathbf {A}) = \underline {{\quad}}.
$$

# 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）当 $x\to 1$ 时，函数 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}\mathrm{e}^{\frac{1}{x - 1}}$ 的极限（ ）.

（A）等于2

（B）等于0

（C）为 $\infty$

(D) 不存在但不是 $\infty$

(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-\cos \frac{\alpha}{n})$ (常数 $\alpha > 0$ )

（A）发散

（B）条件收敛

（C）绝对收敛

(D)收敛性与 $\alpha$ 有关

（3）在曲线 $x = t,y = -t^2,z = t^3$ 的所有切线中，与平面 $x + 2y + z = 4$ 平行的切线（ ）.

（A）只有1条

（B）只有2条

（C）至少3条

(D) 不存在

（4）设 $f(x) = 3x^{3} + x^{2}|x|$ ，则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为（ ）.

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

（5）要使 $\pmb{\xi}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \pmb{\xi}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 都是线性方程组 $AX = 0$ 的解，只要系数矩阵 $\mathbf{A}$ 为（ ）.

(A)(-2 1 1)

(B) $\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

（C） $\left( \begin{array}{rrr} - 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right)$

(D) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

# 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)

（1）求 $\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x - \sin x - 1}{1 - \sqrt{1 - x^2}}.$

(2) 设 $z = f(\mathrm{e}^{x}\sin y, x^{2} + y^{2})$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ .

(3) 设 $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x > 0, \end{cases}$ 求 $\int_{1}^{3} f(x - 2) \, \mathrm{d}x$ .

# 四、（本题满分6分）

求微分方程 $y^{\prime \prime} + 2y^{\prime} - 3y = \mathrm{e}^{-3x}$ 的通解

# 五、（本题满分8分）

计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} (x^3 + az^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (y^3 + ax^2) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + (z^3 + ay^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 的上侧.

# 六、（本题满分7分）

设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0) = 0$ ，证明：对任意的 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，有 $f(x_{1} + x_{2}) < f(x_{1}) + f(x_{2})$

# 七、(本题满分8分)

在变力 $F = yz\mathbf{i} + zx\mathbf{j} + xy\mathbf{k}$ 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 上第一卦限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问：当 $\xi, \eta, \zeta$ 取何值时，力 $F$ 所做的功 $W$ 最大？并求出 $W$ 的最大值.

# 八、（本题满分7分）

设向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性相关，向量组 $\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 线性无关，问：

(1) $\alpha_{1}$ 能否由 $\alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？证明你的结论；  
(2) $\alpha_{4}$ 能否由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？证明你的结论

# 九、（本题满分7分）

设3阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$ ，对应的特征向量依次为

$$
\pmb {\xi} _ {1} = \binom {1} {1}, \pmb {\xi} _ {2} = \binom {1} {2}, \pmb {\xi} _ {3} = \binom {1} {3}, \pmb {\text {又 向 量}}   \pmb {\beta} = \binom {1} {1}.
$$

（1）将 $\pmb{\beta}$ 用 $\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3}$ 线性表示；  
（2）求 $\mathbf{A}^n\pmb {\beta}(n$ 为自然数).

# 十、填空题（本题共2小题，每小题3分，共6分）

(1) 已知 $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}, P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = \frac{1}{12}$ , 则事件 $A, B, C$ 全不发生的概率为  
（2）设随机变量 $X$ 服从参数为1的指数分布，则数学期望 $E(X + \mathrm{e}^{-2X}) =$

# 十一、(本题满分6分)

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立， $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ ， $Y$ 服从 $[- \pi, \pi]$ 上的均匀分布，试求 $Z = X + Y$ 的概率密度（计算结果用标准正态分布的分布函数 $\Phi(x)$ 表示，其中 $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} \, \mathrm{d}t$ ）.