# 1993年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）函数 $F(x) = \int_{1}^{x}(2 - \frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t(x > 0)$ 的单调减区间为  
(2）由曲线 $\left\{ \begin{array}{l}3x^2 + 2y^2 = 12, \\ z = 0 \end{array} \right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周而得到的旋转曲面在点 $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的指向外侧的单位法向量为  
(3) 设函数 $f(x) = \pi x + x^2 (-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ ，则其中系数 $b_3$ 的值为 ______.  
（4）设数量场 $u = \ln \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ，则 $\operatorname {div}(\operatorname {grad}u) =$   
（5）设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的各行元素之和均为零，且 $\mathbf{A}$ 的秩为 $n - 1$ ，则线性方程组 $\mathbf{AX} = \mathbf{0}$ 的通解为

# 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）设 $f(x) = \int_{0}^{\sin x}\sin t^{2}\mathrm{d}t,g(x) = x^{3} + x^{4}$ ，则当 $x\to 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的( ).

（A）等价无穷小

（B）同阶但非等价的无穷小

（C）高阶无穷小

（D）低阶无穷小

（2）双纽线 $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} - y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）.

(A) $2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2\theta \mathrm{d}\theta$

（B）4 $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos 2\theta \mathrm{d}\theta$

（C）2√cos20dθ

(D) $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{2} 2\theta \, \mathrm{d}\theta$

(3) 设有直线 $L_{1}$ : $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z + 8}{1}$ 与 $L_{2}$ : $\left\{ \begin{array}{l} x - y = 6, \\ 2y + z = 3, \end{array} \right.$ 则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角为（ ）.

(A) $\frac{\pi}{6}$

(B) $\frac{\pi}{4}$

(C) $\frac{\pi}{3}$

(D) $\frac{\pi}{2}$

（4）设曲线积分 $\int_{L}[f(x) - \mathrm{e}^{x}]\sin y\mathrm{d}x - f(x)\cos y\mathrm{d}y$ 与路径无关，其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0) = 0$ ，则 $f(x)$ 等于（ ）.

(A) $\frac{\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{x}}{2}$

(B) $\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}$

(C) $\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2} - 1$

$\mathrm{(D)}1 - \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}$

（5）已知 $Q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & t\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} ,P$ 为3阶非零矩阵，且满足 $PQ = O$ ，则（ ）.

(A) $t = 6$ 时， $\pmb{P}$ 的秩必为1

$(\mathrm{B})t = 6$ 时， $\pmb{P}$ 的秩必为2

(C) $t \neq 6$ 时, $\pmb{P}$ 的秩必为1

$(\mathrm{D})t\neq 6$ 时， $\pmb{P}$ 的秩必为2

# 三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）

（1）求 $\lim_{x\to \infty}\left(\sin {\frac{2}{x}} + \cos {\frac{1}{x}}\right)^x.$

（2）求 $\int \frac{x\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x - 1}}\mathrm{d}x.$

(3) 求微分方程 $x^{2}y^{\prime} + xy = y^{2}$ 满足初始条件 $y|_{x=1} = 1$ 的特解.

# 四、（本题满分6分）

计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} 2xz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + yz \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x - z^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 与 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 所围立体表面的外侧.

# 五、（本题满分7分）

求级数 $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n^2 - n + 1)}{2^n}$ 的和.

# 六、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）

（1）设在 $[0, +\infty)$ 上函数 $f(x)$ 有连续导数，且 $f'(x) \geq k > 0, f(0) < 0$ 。证明： $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内有且仅有一个零点。

（2）设 $b > a > \mathrm{e}$ ，证明： $a^b > b^a$

# 七、(本题满分8分)

已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 2ax_{2}x_{3}(a > 0)$ ，通过正交变换化为标准形 $f = y_1^2 +2y_2^2 +5y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵.

# 八、（本题满分6分）

设 $\mathbf{A}$ 是 $n\times m$ 矩阵， $\pmb{B}$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中 $n <   m,E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，若 $\mathbf{AB} = \mathbf{E}$ ，证明 $\pmb{B}$ 的列向量组线性无关.

# 九、（本题满分6分）

设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发，以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动，物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与 $A$ 同时出发，其速度大小为 $2v$ ，方向始终指向 $A$ ，试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.

# 十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）

（1）一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的产品是次品的概率为  
（2）设随机变量 $X$ 服从(0，2）上的均匀分布，则随机变量 $Y = X^2$ 在(0，4）内的概率密度 $f_{Y}(y) = \_ .$

# 十一、（本题满分6分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|}, - \infty <  x <   + \infty .$

（1）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$   
(2) 求 $X$ 与 $|X|$ 的协方差，并问 $X$ 与 $|X|$ 是否不相关？  
（3）问 $X$ 与 $|X|$ 是否相互独立？为什么？