# 1995年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

(1) $\lim_{x\to 0}(1 + 3x)^{\frac{2}{\sin x}} = \underline{\quad}$   
(2) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{x^2}^{0}x\cos t^2\mathrm{d}t = \underline{\quad}$   
（3）设 $(a\times b)\cdot c = 2$ ，则 $[(a + b)\times (b + c)]\cdot (c + a) = .$   
(4) 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n + (-3)^n} x^{2n-1}$ 的收敛半径 $R =$   
（5）设3阶方阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 满足关系式 $A^{-1}BA = 6A + BA$ ，且 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}$ 则 $\pmb {B} = \underline{\quad}$

# 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

(1) 设有直线 $L: \left\{ \begin{array}{l} x + 3y + 2z + 1 = 0, \\ 2x - y - 10z + 3 = 0 \end{array} \right.$ 及平面 $\pi: 4x - 2y + z - 2 = 0$ ，则直线 $L(\quad)$ .

（A）平行于 $\pi$

(B) 在 $\pi$ 上

(C) 垂直于 $\pi$

(D) 与 $\pi$ 斜交

(2) 设在 $[0,1]$ 上 $f''(x) > 0$ ，则 $f'(0), f'(1), f(1) - f(0)$ 或 $f(0) - f(1)$ 的大小顺序为（ ）.

(A) $f^{\prime}(1) > f^{\prime}(0) > f(1) - f(0)$   
(B) $f^{\prime}(1) > f(1) - f(0) > f^{\prime}(0)$   
(C) $f(1) - f(0) > f'(1) > f'(0)$   
(D) $f^{\prime}(1) > f(0) - f(1) > f^{\prime}(0)$

（3）设 $f(x)$ 可导， $F(x) = f(x)(1 + |\sin x|)$ ，则 $f(0) = 0$ 是 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处可导的（ ）.

（A）充分必要条件

（B）充分条件但非必要条件

（C）必要条件但非充分条件

（D）既非充分条件又非必要条件

（4）设 $u_{n} = (-1)^{n}\ln \left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 则级数（ ）.

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛

(B) $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散

(C) $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散

(D) $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛

（5）设 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} ,\mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{21}\\ a_{11}\\ a_{31} + a_{11} \end{pmatrix}$

$\begin{array}{r}a_{22}\qquad a_{23}\\ a_{12}\qquad a_{13}\\ a_{32} + a_{12}\qquad a_{33} + a_{13} \end{array}$ 0 1 0 1 0 0 1

$P_{2} = \left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$ 则必有（ ）.

(A) $\mathbf{A}\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2 = \mathbf{B}$

(B) $\mathbf{A}\mathbf{P}_2\mathbf{P}_1 = \mathbf{B}$

(C) $P_{1}P_{2}\mathbf{A} = \mathbf{B}$

(D) $\pmb{P}_2\pmb{P}_1\pmb{A} = \pmb{B}$

# 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

（1）设 $u = f(x,y,z),\varphi (x^2,\mathrm{e}^y,z) = 0,y = \sin x$ ，其中 $f,\varphi$ 都具有一阶连续的偏导数，且 $\frac{\partial\varphi}{\partial z}\neq 0$ 求 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

（2）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，并设 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x = A$ ，求 $\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^1 f(x)f(y)\mathrm{d}y.$

# 四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）

（1）计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} z \, \mathrm{d}S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 在柱体 $x^2 + y^2 \leqslant 2x$ 内的部分.

（2）将函数 $f(x) = x - 1(0\leqslant x\leqslant 2)$ 展开成周期为4的余弦级数.

# 五、（本题满分7分）

设曲线 $L$ 位于 $xOy$ 平面的第一象限内， $L$ 上任一点 $M$ 处的切线与 $y$ 轴总相交，交点记为 $A$ . 已知 $|\overline{MA}| = |\overline{OA}|$ ，且 $L$ 过点 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ，求 $L$ 的方程.

# 六、（本题满分8分）

设函数 $Q(x,y)$ 在 $xOy$ 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 $\int_{L}2xy\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y$ 与路径无关，并且对任意 $t$ 恒有 $\int_{(0,0)}^{(t,1)}2xy\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y = \int_{(0,0)}^{(1,t)}2xy\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y$ ，求 $Q(x,y)$

# 七、(本题满分8分)

设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在二阶导数，并且 $g''(x) \neq 0, f(a) = f(b) = g(a) = g(b) = 0$ ，试证：

（1）在开区间 $(a,b)$ 内 $g(x)\neq 0$   
（2）在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)} = \frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}.$

# 八、（本题满分7分）

设3阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1} = -1, \lambda_{2} = \lambda_{3} = 1$ ，对应于 $\lambda_{1}$ 的特征向量为 $\xi_{1} = (0,1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\mathbf{A}$

# 九、（本题满分6分）

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $\mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{E}$ （ $\mathbf{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵）， $|\mathbf{A}| < 0$ ，求 $|\mathbf{A} + \mathbf{E}|$ .

# 十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）

（1）设 $X$ 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的命中率为0.4，则 $X^2$ 的数学期望 $E(X^2) = \_$   
（2）设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，且 $P\{X \geqslant 0, Y \geqslant 0\} = \frac{3}{7}, P\{X \geqslant 0\} = P\{Y \geqslant 0\} = \frac{4}{7}$ ，则 $P\{\max(X, Y) \geqslant 0\} = \_$

# 十一、（本题满分6分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x\geqslant 0,\\ 0, & x <   0, \end{array} \right.$ 求随机变量 $Y = \mathrm{e}^{X}$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$