# 1996年全国硕士研究生招生考试 # 数学（一） （科目代码：301） # 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） （1）设 $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x + 2a}{x - a}\right)^x = 8$ ，则 $a = \_$ （2）设一平面经过原点及点 $(6, -3, 2)$ ，且与平面 $4x - y + 2z = 8$ 垂直，则此平面方程为 （3）微分方程 $y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + 2y = \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 （4）函数 $u = \ln (x + \sqrt{y^2 + z^2})$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3, - 2,2)$ 方向的方向导数为 （5）设 $\mathbf{A}$ 是 $4\times 3$ 矩阵，且 $\mathbf{A}$ 的秩 $r(\mathbf{A}) = 2$ ，而 $\pmb {B} = \left( \begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{array} \right)$ ，则 $r(\mathbf{AB}) =$ # 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） (1) 已知 $\frac{(x + ay)\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y}{(x + y)^2}$ 为某函数的全微分，则 $a$ 等于（ ）. (A) -1 (B)0 (C)1 (D)2 （2）设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $f^{\prime}(0) = 0,\lim_{x\to 0}\frac{f^{\prime\prime}(x)}{|x|} = 1$ ，则（ ）. (A) $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值 (B) $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值 (C) $(0, f(0))$ 是曲线 $y = f(x)$ 的拐点 (D) $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值， $(0,f(0))$ 也不是曲线 $y = f(x)$ 的拐点 (3) 设 $a_{n} > 0 (n = 1,2,\dots)$ , 且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 常数 $\lambda \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ , 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left(n \tan \frac{\lambda}{n}\right) a_{2n}$ . （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 (D) 收敛性与 $\lambda$ 有关 （4）设 $f(x)$ 有连续导数， $f(0) = 0, f'(0) \neq 0, F(x) = \int_{0}^{x} (x^2 - t^2) f(t) \, \mathrm{d}t$ ，且当 $x \to 0$ 时， $F'(x)$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k$ 等于（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 （5）4阶行列式 $\left| \begin{array}{cccc}a_{1} & 0 & 0 & b_{1}\\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0\\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0\\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array} \right|$ 的值等于（ ）. (A) $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} - b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}$ (B) $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} + b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}$ (C) $(a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2})(a_{3}a_{4} - b_{3}b_{4})$ (D) $(a_{2}a_{3} - b_{2}b_{3})(a_{1}a_{4} - b_{1}b_{4})$ # 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） （1）求心形线 $r = a(1 + \cos \theta)$ 的全长，其中 $a > 0$ 是常数 （2）设 $x_{1} = 10, x_{n + 1} = \sqrt{6 + x_{n}} (n = 1,2,\dots)$ ，试证数列 $\{x_{n}\}$ 极限存在，并求此极限. # 四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分） (1) 计算曲面积分 $\iint_{S} (2x + z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，其中 $S$ 为有向曲面 $z = x^2 + y^2 (0 \leqslant z \leqslant 1)$ ，其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角. （2）设变换 $\left\{ \begin{array}{l} u = x - 2y, \\ v = x + ay \end{array} \right.$ 可把方程 $6\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = 0$ 化简为 $\frac{\partial^2z}{\partial u\partial v} = 0$ ，求常数 $a$ ，其中 $z = z(x,y)$ 有二阶连续的偏导数. # 五、（本题满分7分） 求级数 $\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{(n^{2} - 1)2^{n}}$ 的和. # 六、（本题满分7分） 设对任意的 $x > 0$ ，曲线 $y = f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ ，求 $f(x)$ 的一般表达式. # 七、(本题满分8分) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且满足条件： $|f(x)| \leqslant a, |f''(x)| \leqslant b$ ，其中 $a, b$ 都是非负常数， $c$ 为 $(0,1)$ 内任意一点. (1) 写出 $f(x)$ 在点 $x = c$ 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式； （2）证明： $\left|f^{\prime}(c)\right|\leqslant 2a + \frac{b}{2}.$ # 八、（本题满分6分） 设 $\mathbf{A} = \mathbf{E} - \boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\pmb{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\pmb{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量， $\pmb{\xi}^{\mathrm{T}}$ 是 $\pmb{\xi}$ 的转置，证明： (1) $A^2 = A$ 的充分必要条件是 $\xi^{\mathrm{T}}\xi = 1$ （2）当 $\pmb{\xi}^{\mathrm{T}}\pmb {\xi} = 1$ 时， $\mathbf{A}$ 是不可逆矩阵 # 九、（本题满分8分） 已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 5x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + cx_{3}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 6x_{1}x_{3} - 6x_{2}x_{3}$ 的秩为2. （1）求参数 $c$ 的值及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 1$ 表示何种二次曲面. # 十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分） （1）设工厂 $A$ 和工厂 $B$ 的产品的次品率分别为 $1\%$ 和 $2\%$ ，现从由 $A$ 厂和 $B$ 厂的产品分别占 $60\%$ 和 $40\%$ 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于 $A$ 厂生产的概率为 （2）设 $\xi, \eta$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $N\left(0, \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right)$ 的随机变量，则随机变量 $|\xi - \eta|$ 的数学期望 $E(|\xi - \eta|) =$ # 十一、（本题满分6分） 设 $\xi, \eta$ 是相互独立且都服从同一分布的两个随机变量，且 $\xi$ 的分布律为 $P\{\xi = i\} = \frac{1}{3}$ $(i = 1,2,3)$ ，又设 $X = \max \{\xi, \eta\}, Y = \min \{\xi, \eta\}$ . （1）写出二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布律：
YX
123
1
2
3
（2）求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$