# 1997年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

(1) $\lim_{x\to 0}\frac{3\sin{x} + x^{2}\cos{\frac{1}{x}}}{(1 + \cos{x})\ln(1 + x)} = \underline{\quad}.$   
(2) 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3, 则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - 1)^{n+1}$ 的收敛区间为  
(3) 对数螺线 $\rho = \mathrm{e}^{\theta}$ 在点 $(\rho, \theta) = \left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程为  
(4) 设 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{B}$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$ , 则 $t =$ ______.  
(5) 袋中有 50 个乒乓球, 其中 20 个是黄球, 30 个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第二人取得黄球的概率是

# 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

（1）二元函数 $f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y)\neq (0,0),\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array} \right.$ 在点(0，0）处(

（A）连续，偏导数存在

（B）连续，偏导数不存在

(C) 不连续, 偏导数存在.

(D) 不连续, 偏导数不存在.

(2) 设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) > 0, f'(x) < 0, f''(x) > 0$ . 令 $S_{1} = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x, S_{2} = f(b)(b - a)$ , $S_{3} = \frac{1}{2} [f(a) + f(b)] (b - a)$ , 则( )

(A) $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ .

(B) $S_{2} < S_{1} < S_{3}$ .

(C) $S_{3} < S_{1} < S_{2}$ .

$(\mathrm{D})S_{2} <   S_{3} <   S_{1}$

(3) 设 $F(x) = \int_{x}^{x + 2\pi}\mathrm{e}^{\sin t}\sin t\mathrm{d}t$ ，则 $F(x)$ ( )

（A）为正常数

(B) 为负常数.

(C) 恒为零.

(D) 不为常数.

(4) 设 $\pmb{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{pmatrix}$ , 则三条直线 $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0, a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ , $a_{3}x + b_{3}y + c_{3} = 0$ (其中 $a_{i}^{2} + b_{i}^{2} \neq 0, i = 1, 2, 3$ ) 交于一点的充要条件是( )

(A) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关.   
(B) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关.   
(C) 秩 $r(\pmb{\alpha}_1, \pmb{\alpha}_2, \pmb{\alpha}_3) =$ 秩 $r(\pmb{\alpha}_1, \pmb{\alpha}_2)$ .   
$(\mathrm{D})\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$ 线性相关， $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{2}$ 线性无关

(5) 设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差分别为 4 和 2, 则随机变量 $3X - 2Y$ 的方差是 ( )

(A)8.

(B)16.

(C)28.

(D)44.

# 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)

(1) 计算 $I = \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}v$ ，其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\left\{ \begin{array}{l} y^2 = 2z, \\ x = 0 \end{array} \right.$ ，绕 $z$ 轴旋转一周形成的曲面与平面 $z = 8$ 所围成的区域.  
(2) 计算曲线积分 $\oint_{C} (z - y) \, \mathrm{d}x + (x - z) \, \mathrm{d}y + (x - y) \, \mathrm{d}z$ , 其中 $C$ 是曲线 $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 1, \\ x - y + z = 2, \end{array} \right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看, $C$ 的方向是顺时针的.  
(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 $N$ , 在 $t = 0$ 时刻已掌握新技术的人数为 $x_0$ , 在任意时刻 $t$ 已掌握新技术的人数为 $x(t)$ (将 $x(t)$ 视为连续可微变量), 其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比, 比例常数 $k > 0$ , 求 $x(t)$ .

# 四、(本题共2小题，第(1)小题6分，第(2)小题7分，满分13分)

(1) 设直线 $l: \left\{ \begin{array}{l} x + y + b = 0, \\ x + ay - z - 3 = 0 \end{array} \right.$ 在平面 $\pi$ 上，而平面 $\pi$ 与曲面 $z = x^2 + y^2$ 相切于点 $(1, -2, 5)$ ，求 $a, b$ 之值.  
(2) 设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数, 而 $z = f(\mathrm{e}^{x}\sin y)$ 满足方程 $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = \mathrm{e}^{2x}z$ , 求 $f(u)$ .

# 五、(本题满分6分)

设 $f(x)$ 连续, $\varphi(x) = \int_{0}^{1} f(xt) \, \mathrm{d}t$ , 且 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$ (A 为常数), 求 $\varphi'(x)$ 并讨论 $\varphi'(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

# 六、(本题满分8分)

设 $a_1 = 2, a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right) (n = 1, 2, \dots)$ , 证明:

(1) $\lim_{n\to \infty}a_n$ 存在；  
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛.

# 七、(本题共2小题，第(1)小题5分，第(2)小题6分，满分11分)

(1) 设 $\pmb{B}$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵, $\pmb{\alpha}_{1} = (1,1,2,3)^{\mathrm{T}}, \pmb{\alpha}_{2} = (-1,1,4,-1)^{\mathrm{T}}, \pmb{\alpha}_{3} = (5,-1,-8,9)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线性方程组 $\pmb{Bx} = \mathbf{0}$ 的解向量, 求 $\pmb{Bx} = \mathbf{0}$ 的解空间的一个标准正交基.  
(2) 已知 $\pmb{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 是矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{pmatrix}$ 的一个特征向量.

（I）试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\pmb{\xi}$ 所对应的特征值；

（Ⅱ）问 $\mathbf{A}$ 能否相似于对角阵?说明理由.

# 八、(本题满分5分)

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆方阵, 将 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $\mathbf{B}$ .

(1) 证明 $\pmb{B}$ 可逆；  
(2) 求 $AB^{-1}$ .

# 九、(本题满分7分)

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 $\frac{2}{5}$ . 设 $X$ 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 $X$ 的分布律、分布函数和数学期望.

# 十、(本题满分5分)

设总体 $X$ 的概率密度为

$$
f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} (\theta + 1) x ^ {\theta}, & 0 <   x <   1, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right.
$$

其中 $\theta > -1$ 是未知参数, $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个容量为 $n$ 的简单随机样本, 分别用矩估计法和极大似然估计法求 $\theta$ 的估计量.