# 1998年全国硕士研究生招生考试试题
# 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} - 2}{x^2} = \underline{\quad}$ .
(2) 设 $z = \frac{1}{x} f(xy) + y\varphi(x + y)$ , $f, \varphi$ 具有二阶连续导数, 则 $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} =$ ______.
(3) 设 $l$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ , 其周长记为 $a$ , 则 $\oint_{l} (2xy + 3x^2 + 4y^2) \, \mathrm{d}s =$ ______.
(4) 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, $|\mathbf{A}| \neq 0, \mathbf{A}^{*}$ 为 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵, $\mathbf{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵. 若 $\mathbf{A}$ 有特征值 $\lambda$ , 则 $(\mathbf{A}^{*})^{2} + \mathbf{E}$ 必有特征值
(5) 设平面区域 $D$ 由曲线 $y = \frac{1}{x}$ 及直线 $y = 0, x = 1, x = \mathrm{e}^2$ 所围成，二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，则 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x = 2$ 处的值为 ______.
# 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) 设 $f(x)$ 连续, 则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{x} t f\left(x^{2} - t^{2}\right) \mathrm{d}t = (\quad)$
(A) $xf(x^2)$ .
(B) $-xf(x^{2})$
(C) $2xf(x^{2})$
(D) $-2xf(x^{2})$
(2) 函数 $f(x) = (x^2 - x - 2) \mid x^3 - x$ 不可导点的个数是（）
(A)3.
(B)2.
(C)1.
(D)0.
(3) 已知函数 $y = y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y = \frac{y\Delta x}{1 + x^2} + \alpha$ , 且当 $\Delta x \to 0$ 时, $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小, $y(0) = \pi$ , 则 $y(1)$ 等于( )
(A) $2\pi$
(B) $\pi$ .
(C) $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ .
(D) $\pi \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ .
(4) 设矩阵 $\left( \begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array} \right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x - a_3}{a_1 - a_2} = \frac{y - b_3}{b_1 - b_2} = \frac{z - c_3}{c_1 - c_2}$ 与直线 $\frac{x - a_1}{a_2 - a_3} = \frac{y - b_1}{b_2 - b_3} = \frac{z - c_1}{c_2 - c_3}$
(A) 相交于一点.
(B) 重合.
(C) 平行但不重合.
(D) 异面.
(5) 设 $A, B$ 是两个随机事件，且 $0 < P(A) < 1, P(B) > 0, P(B \mid A) = P(B \mid \overline{A})$ ，则必有（）
$(\mathrm{A})P(A\mid B) = P(\overline{A}\mid B).$
(B) $P(A\mid B)\neq P(\overline{A}\mid B).$
(C) $P(AB) = P(A)P(B)$ .
(D) $P(AB)\neq P(A)P(B).$
# 三、(本题满分5分)
求直线 $l: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1}$ 在平面 $\pi : x - y + 2z - 1 = 0$ 上的投影直线 $l_{0}$ 的方程, 并求 $l_{0}$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成曲面的方程.
# 四、(本题满分6分)
确定常数 $\lambda$ ，使在右半平面 $x > 0$ 上的向量 $A(x,y) = 2xy(x^4 +y^2)^{\lambda}i - x^2 (x^4 +y^2)^{\lambda}j$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的梯度，并求 $u(x,y)$
# 五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测器, 按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 $y$ (从海平面算起) 与下沉速度 $v$ 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下, 从海平面由静止开始铅直下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为 $m$ , 体积为 $B$ , 海水比重为 $\rho$ , 仪器所受的阻力与下沉速度成正比, 比例系数为 $k (k > 0)$ . 试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 $y = y(v)$ .
# 六、(本题满分7分)
计算 $\iint_{\Sigma} \frac{ax \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (z + a)^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{1}{2}}}$ , 其中 $\Sigma$ 为下半球面 $z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 的上侧, $a$ 为大于零的常数.
# 七、(本题满分6分)
求 $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n + 1} +\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n + \frac{1}{2}} +\dots +\frac{\sin\pi}{n + \frac{1}{n}}\right)$
# 八、(本题满分5分)
设正项数列 $\{a_{n}\}$ 单调减少，且 $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}$ 发散，试问级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_n + 1}\right)^n$ 是否收敛？并说明理由.
# 九、(本题满分6分)
设 $y = f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 $x_0 \in (0,1)$ , 使得在区间 $[0, x_0]$ 上以 $f(x_0)$ 为高的矩形面积, 等于在区间 $[x_0,1]$ 上以 $y = f(x)$ 为曲边的梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) > -\frac{2f(x)}{x}$ ，证明（1）中的 $x_0$ 是唯一的.
# 十、(本题满分6分)
已知二次曲面方程 $x^{2} + ay^{2} + z^{2} + 2bxy + 2xz + 2yz = 4$ 可以经过正交变换
$$
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \boldsymbol {P} \left( \begin{array}{c} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{array} \right)
$$
化为椭圆柱面方程 $\eta^2 + 4\zeta^2 = 4$ ，求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $\pmb{P}$
# 十一、(本题满分4分)
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 若存在正整数 $k$ , 使线性方程组 $A^k x = 0$ 有解向量 $\alpha$ , 且 $A^{k-1} \alpha \neq 0$ . 证明: 向量组 $\alpha, A \alpha, \dots, A^{k-1} \alpha$ 是线性无关的.
# 十二、(本题满分5分)
已知线性方程组
$$
\left( \begin{array}{l} I \end{array} \right) \left\{ \begin{array}{c} a _ {1 1} x _ {1} + a _ {1 2} x _ {2} + \dots + a _ {1, 2 n} x _ {2 n} = 0, \\ a _ {2 1} x _ {1} + a _ {2 2} x _ {2} + \dots + a _ {2, 2 n} x _ {2 n} = 0, \\ \dots \dots \\ a _ {n 1} x _ {1} + a _ {n 2} x _ {2} + \dots + a _ {n, 2 n} x _ {2 n} = 0 \end{array} \right.
$$
的一个基础解系为 $(b_{11}, b_{12}, \dots, b_{1,2n})^{\mathrm{T}}, (b_{21}, b_{22}, \dots, b_{2,2n})^{\mathrm{T}}, \dots, (b_{n1}, b_{n2}, \dots, b_{n,2n})^{\mathrm{T}}$ . 试写出线性方程组
$$
\left( \begin{array}{c} \text {I I} \end{array} \right) \left\{ \begin{array}{l} b _ {1 1} y _ {1} + b _ {1 2} y _ {2} + \dots + b _ {1, 2 n} y _ {2 n} = 0, \\ b _ {2 1} y _ {1} + b _ {2 2} y _ {2} + \dots + b _ {2, 2 n} y _ {2 n} = 0, \\ \dots \dots \\ b _ {n 1} y _ {1} + b _ {n 2} y _ {2} + \dots + b _ {n, 2 n} y _ {2 n} = 0 \end{array} \right.
$$
的通解，并说明理由
# 十三、(本题满分6分)
设两个随机变量 $X, Y$ 相互独立，且都服从均值为0，方差为 $\frac{1}{2}$ 的正态分布，求随机变量 $|X - Y|$ 的方差.
# 十四、(本题满分4分)
从正态总体 $N(3.4,6^2)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量 $n$ 至少应取多大？
附表：标准正态分布表 $\Phi (z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$
| z | 1.28 | 1.645 | 1.96 | 2.33 |
| Φ(z) | 0.900 | 0.950 | 0.975 | 0.990 |
# 十五、(本题满分4分)
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。
附表： $t$ 分布表
$$
P \left\{t (n) \leqslant t _ {p} (n) \right\} = p
$$
| tp(n)n | 0.95 | 0.975 |
| 35 | 1.6896 | 2.0301 |
| 36 | 1.6883 | 2.0281 |