# 2000年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

(1) $\int_0^1\sqrt{2x - x^2}\mathrm{d}x = \underline{\quad}$   
(2) 曲面 $x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 21$ 在点 $(1, -2, 2)$ 处的法线方程为  
(3) 微分方程 $xy'' + 3y' = 0$ 的通解为  
(4) 已知方程组 $\left( \begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & a + 2\\ 1 & a & -2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}1\\ 3\\ 0 \end{array} \right)$ 无解, 则 $a =$   
(5) 设两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9}, A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等, 则 $P(A) =$

# 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

（1）设 $f(x),g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x)g(x) - f(x)g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有( )

(A) $f(x)g(b) > f(b)g(x)$ .

(B) $f(x)g(a) > f(a)g(x)$ .

(C) $f(x)g(x) > f(b)g(b)$ .

(D) $f(x)g(x) > f(a)g(a)$ .

(2) 设 $S: x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (z \geqslant 0)$ , $S_{1}$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分, 则有( )

(A) $\iint_{S} x \, \mathrm{d}S = 4\iint_{S_1} x \, \mathrm{d}S.$

(B) $\iint_{S} y \, \mathrm{d}S = 4 \iint_{S_1} x \, \mathrm{d}S.$

(C) $\iint_{S} z \, \mathrm{d}S = 4 \iint_{S_1} x \, \mathrm{d}S.$

(D) $\iint_{S} xyz \, \mathrm{d}S = 4 \iint_{S_1} xyz \, \mathrm{d}S.$

(3) 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, 则必收敛的级数为( )

(A) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u_{n}}{n}$ .

(B) $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n^2$

(C) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2n-1}-u_{2n}\right)$ .

(D) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+u_{n+1}\right)$ .

(4) 设 $n$ 维列向量组 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m} (m < n)$ 线性无关, 则 $n$ 维列向量组 $\pmb{\beta}_{1}, \dots, \pmb{\beta}_{m}$ 线性无关的充分必要条件为（ ）

（A）向量组 $\alpha_{1},\dots ,\alpha_{m}$ 可由向量组 $\beta_{1},\dots ,\beta_{m}$ 线性表示  
（B）向量组 $\pmb{\beta}_{1},\dots ,\pmb{\beta}_{m}$ 可由向量组 $\alpha_{1},\dots ,\alpha_{m}$ 线性表示  
（C）向量组 $\alpha_{1},\dots ,\alpha_{m}$ 与向量组 $\beta_{1},\dots ,\beta_{m}$ 等价  
(D) 矩阵 $A = (\pmb{\alpha}_1, \dots, \pmb{\alpha}_m)$ 与矩阵 $\pmb{B} = (\pmb{\beta}_1, \dots, \pmb{\beta}_m)$ 等价.

(5) 设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 则随机变量 $\xi = X + Y$ 与 $\eta = X - Y$ 不相关的充分必要条件为 ( )

$\left(\mathrm{A}\right)E(X) = E(Y).$

(B) $E(X^2) - [E(X)]^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2.$

$\left(\mathrm{C}\right) E\left(X^{2}\right)=E\left(Y^{2}\right)$ .

$(\mathrm{D})E(X^{2}) + [E(X)]^{2} = E(Y^{2}) + [E(Y)]^{2}.$

# 三、(本题满分5分)

求 $\lim_{x\to 0}\left(\frac{2 + \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1 + \mathrm{e}^{\frac{4}{x}}} +\frac{\sin x}{|x|}\right).$

# 四、(本题满分5分)

设 $z = f\left(xy, \frac{x}{y}\right) + g\left(\frac{y}{x}\right)$ , 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, $g$ 具有二阶连续导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ .

# 五、(本题满分6分)

计算曲线积分 $I = \oint_{L} \frac{x \, \mathrm{d}y - y \, \mathrm{d}x}{4x^2 + y^2}$ , 其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心, $R$ 为半径的圆周 $(R > 1)$ , 取逆时针方向.

# 六、(本题满分7分)

设对于半空间 $x > 0$ 内任意的光滑有向封闭曲面 $S$ , 都有

$$
\iint_ {S} x f (x) \mathrm {d} y \mathrm {d} z - x y f (x) \mathrm {d} z \mathrm {d} x - \mathrm {e} ^ {2 x} z \mathrm {d} x \mathrm {d} y = 0,
$$

其中函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内具有连续的一阶导数，且 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ 。求 $f(x)$

# 七、(本题满分6分)

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n + (-2)^n} \frac{x^n}{n}$ 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.

# 八、(本题满分7分)

设有一半径为 $R$ 的球体, $P_{0}$ 是此球的表面上的一个定点, 球体上任一点的密度与该点到 $P_{0}$ 距离的平方成正比 (比例常数 $k > 0$ ), 求球体的重心位置.

# 九、(本题满分6分)

设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d}x = 0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{d}x = 0$ 。试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f(\xi_1) = f(\xi_2) = 0$ 。

# 十、(本题满分6分)

设矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵 $A^{*} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{pmatrix}$ , 且 $\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{B}\mathbf{A}^{-1} + 3\mathbf{E}$ , 其中 $\mathbf{E}$ 为4阶单位矩阵, 求矩阵 $\mathbf{B}$ .

# 十一、(本题满分8分)

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 $\frac{1}{6}$ 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 $\frac{2}{5}$ 成为熟练工。设第 $n$ 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 $x_{n}$ 和 $y_{n}$ ，记成向量 $\binom{x_n}{y_n}$ .

（1）求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ 与 $\binom{x_n}{y_n}$ 的关系式并写成矩阵形式： $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ ;  
(2) 验证 $\pmb{\eta}_{1} = \binom{4}{1}, \pmb{\eta}_{2} = \binom{-1}{1}$ 是 $\pmb{A}$ 的两个线性无关的特征向量, 并求出相应的特征值;  
(3）当 $\binom{x_1}{y_1}=\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ 时，求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ .

# 十二、(本题满分8分)

某流水生产线上每个产品不合格的概率为 $p(0 < p < 1)$ , 各产品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 $X$ . 求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ .

# 十三、(本题满分6分)

设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为

$$
f (x; \theta) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 \mathrm {e} ^ {- 2 (x - \theta)}, & x \geqslant \theta , \\ 0, & x <   \theta , \end{array} \right.
$$

其中 $\theta > 0$ 为未知参数. 又设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计值