# 2001年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

(1) 设 $y = \mathrm{e}^{x}\left(C_{1} \sin x + C_{2} \cos x\right)\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为  
(2) 设 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ , 则 $\operatorname{div}(\mathbf{grad} r)\mid_{(1, -2, 2)} = \underline{\quad}$ .   
(3) 交换二次积分的积分次序: $\int_{-1}^{0} \mathrm{d}y \int_{2}^{1 - y} f(x, y) \mathrm{d}x =$ ______.  
(4) 设矩阵 $A$ 满足 $A^2 + A - 4E = O$ , 其中 $E$ 为单位矩阵, 则 $(A - E)^{-1} = \underline{\quad}$ .  
(5) 设随机变量 $X$ 的方差为 2, 则根据切比雪夫不等式有估计 $P\{|X - E(X)| \geqslant 2\} \leqslant \underline{\quad}$ .

# 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

（1）设函数 $f(x)$ 在定义域内可导， $y = f(x)$ 的图形如右图所示，则导函数 $y = f'(x)$ 的图形为（ ）

![](images/d204f4c9b94d3f324ee2c005bdd513e59c0816c5c59d5b7dd1b731021727da3f.jpg)

![](images/ea979b497525aeee952ac442eec861aa25a2b459fabd289a37ba456482f69683.jpg)  
(A)

![](images/ada79bd15b5a570bc5fbeb73119cc67dd7251c4a4cef2c0c8a61858222f6bf3b.jpg)  
(B)

![](images/be0c86536ba8da8e684128af4a548c6f804336be1177d970457a229a173c2951.jpg)  
(C)

![](images/9fe86278a50353a837be2e178e22870d161775391196b2248c4d9bbe1472f96e.jpg)  
(D)

(2) 设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 附近有定义，且 $f_{x}^{\prime}(0, 0) = 3$ ， $f_{y}^{\prime}(0, 0) = 1$ ，则（）

$\left(\mathrm{A}\right)\mathrm{d}z\bigg|_{(0,0)} = 3\mathrm{d}x + \mathrm{d}y.$   
(B) 曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 的法向量为 $(3, 1, 1)$ .  
（C）曲线 $\left\{ \begin{array}{l}z = f(x,y),\\ y = 0 \end{array} \right.$ 在点(0,0， $f(0,0)$ ）的切向量为(1,0,3).  
(D) 曲线 $\left\{ \begin{array}{l} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{array} \right.$ ，在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 的切向量为 $(3, 0, 1)$ .

(3) 设 $f(0) = 0$ , 则 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 可导的充要条件为( )

(A) $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2} f(1 - \cos h)$ 存在.

(B) $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h} f(1 - \mathrm{e}^h)$ 存在.

(C) $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2} f(h - \sin h)$ 存在.

(D) $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h} [f(2h) - f(h)]$ 存在.

(4) 设 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}(\quad)$

(A) 合同且相似.

（B）合同但不相似

(C) 不合同但相似.

(D) 不合同且不相似.

(5) 将一枚硬币重复掷 $n$ 次, 以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数等于( )

(A) - 1.

(B)0.

(C) $\frac{1}{2}$ .

(D)1.

# 三、(本题满分6分)

求 $\int \frac{\arctan\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}}\mathrm{d}x.$

# 四、(本题满分6分)

设函数 $z = f(x,y)$ 在点(1,1)处可微，且 $f(1,1) = 1, \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 2, \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)} = 3, \varphi(x) = f(x,f(x,x))$ 求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\varphi^3 (x)\Bigg|_{x = 1}.$

# 五、(本题满分8分)

设 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1 + x^2}{x}\arctan x, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0, \end{array} \right.$ 试将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2}$ 的和.

# 六、(本题满分7分)

计算 $I = \oint_{L}(y^{2} - z^{2})\mathrm{d}x + (2z^{2} - x^{2})\mathrm{d}y + (3x^{2} - y^{2})\mathrm{d}z,$ 其中 $L$ 是平面 $x + y + z = 2$ 与柱面 $|x| + |y| = 1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去， $L$ 为逆时针方向.

# 七、(本题满分7分)

设 $y = f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 内具有二阶连续导数且 $f''(x) \neq 0$ ，试证：

(1) 对于 $(-1, 1)$ 内的任一 $x \neq 0$ , 存在唯一的 $\theta(x) \in (0, 1)$ , 使 $f(x) = f(0) + xf'(\theta(x)x)$ 成立;  
(2) $\lim_{x \to 0} \theta(x) = \frac{1}{2}$ .

# 八、(本题满分8分)

设有一高度为 $h(t)$ （ $t$ 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 $z = h(t) - \frac{2(x^2 + y^2)}{h(t)}$ （设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0.9），问高度为

130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

# 九、(本题满分6分)

设 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}$ 为线性方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系， $\pmb {\beta}_1 = t_1\pmb {\alpha}_1 + t_2\pmb {\alpha}_2,\pmb {\beta}_2 = t_1\pmb {\alpha}_2 + t_2\pmb {\alpha}_3,\dots ,$ $\pmb {\beta}_s = t_1\pmb {\alpha}_s + t_2\pmb {\alpha}_1$ ，其中 $t_1,t_2$ 为实常数．试问 $t_1,t_2$ 满足什么关系时， $\pmb {\beta}_1,\pmb {\beta}_2,\dots ,\pmb {\beta}_s$ 也为 $Ax = 0$ 的一个基础解系.

# 十、(本题满分8分)

已知3阶矩阵 $A$ 与3维向量 $\pmb{x}$ ，使得向量组 $x,Ax,A^2 x$ 线性无关，且满足

$$
\boldsymbol {A} ^ {3} \boldsymbol {x} = 3 \boldsymbol {A} \boldsymbol {x} - 2 \boldsymbol {A} ^ {2} \boldsymbol {x}.
$$

(1) 记 $P = (x, Ax, A^2 x)$ , 求 3 阶矩阵 $\pmb{B}$ , 使 $A = PBP^{-1}$ ;  
(2) 计算行列式 $|A + E|$ .

# 十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda (\lambda >0)$ 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 <   p <   1)$ ，且中途下车与否相互独立．以 $Y$ 表示在中途下车的人数，求：

(1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下, 中途有 $m$ 人下车的概率;  
(2) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.

# 十二、（本题满分7分）

设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2) (\sigma > 0)$ , 从该总体中抽取简单随机样本 $X_1, X_2, \dots, X_{2n} (n \geqslant 2)$ , 其样本均值为 $\overline{X} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{2n} X_i$ , 求统计量 $Y = \sum_{i=1}^{n} (X_i + X_{n+i} - 2\overline{X})^2$ 的数学期望 $E(Y)$ .