# 2004年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分)

(1) 曲线 $y = \ln x$ 上与直线 $x + y = 1$ 垂直的切线方程为  
(2) 已知 $f^{\prime}(\mathrm{e}^{x}) = x\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $f(1) = 0$ ，则 $f(x) =$ ______.  
(3) 设 $L$ 为正向圆周 $x^{2} + y^{2} = 2$ 在第一象限中的部分, 则曲线积分 $\int_{L} x \mathrm{~d}y - 2y \mathrm{~d}x$ 的值为  
(4) 欧拉方程 $x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} + 4 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} + 2 y = 0 (x > 0)$ 的通解为  
(5) 设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , 矩阵 $\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{A}^{*} = 2\mathbf{B}\mathbf{A}^{*} + \mathbf{E}$ , 其中 $\mathbf{A}^{*}$ 为 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵, $\mathbf{E}$ 是单位矩阵, 则 $|\mathbf{B}| =$ ______.  
(6) 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则 $P\{X > \sqrt{D(X)}\} =$

# 二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)

(7) 把 $x \to 0^{+}$ 时的无穷小量 $\alpha = \int_{0}^{x} \cos(t^{2}) \, \mathrm{d}t$ , $\beta = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \, \mathrm{d}t$ , $\gamma = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin (t^{3}) \, \mathrm{d}t$ 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小量, 则正确的排列次序是( )

(A) $\alpha, \beta, \gamma$ .

(B) $\alpha, \gamma, \beta$ .

(C) $\beta, \alpha, \gamma$ .

(D) $\beta, \gamma, \alpha$ .

(8) 设函数 $f(x)$ 连续, 且 $f'(0) > 0$ , 则存在 $\delta > 0$ , 使得( )

(A) $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加.  
(B) $f(x)$ 在 $(- \delta, 0)$ 内单调减少.  
(C) 对任意的 $x \in (0, \delta)$ , 有 $f(x) > f(0)$ .  
(D) 对任意的 $x \in (-\delta, 0)$ , 有 $f(x) > f(0)$ .

(9) 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数. 下列结论中正确的是( )

(A) 若 $\lim_{n\to \infty}na_n = 0$ ，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ 收敛.  
(B) 若存在非零常数 $\lambda$ , 使得 $\lim_{n \to \infty} n a_n = \lambda$ , 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.  
(C) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 则 $\lim_{n \to \infty} n^{2} a_{n} = 0$ .  
(D) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散, 则存在非零常数 $\lambda$ , 使得 $\lim_{n \to \infty} n a_n = \lambda$ .

(10) 设 $f(x)$ 为连续函数, $F(t) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d}x$ , 则 $F'(2)$ 等于( )

(A) $2f(2)$ .

(B) $f(2)$ .

(C) $-f(2)$ .

(D)0.

(11) 设 $A$ 是 3 阶方阵, 将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ , 再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ , 则满足 $AQ = C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为 ( )

(A) $\left( \begin{array}{lll}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(B) $\left( \begin{array}{lll}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(C) $\left( \begin{array}{lll}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$

(D) $\left( \begin{array}{lll}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

（12）设 $A, B$ 为满足 $AB = O$ 的任意两个非零矩阵，则必有( )

(A) $A$ 的列向量组线性相关, $B$ 的行向量组线性相关.  
(B) $A$ 的列向量组线性相关, $B$ 的列向量组线性相关.  
(C) $A$ 的行向量组线性相关, $B$ 的行向量组线性相关.  
(D) $A$ 的行向量组线性相关, $B$ 的列向量组线性相关

（13）设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha (0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_{\alpha}$ 满足 $P\{X > u_{\alpha}\} = \alpha$ 若 $P\{|X| < x\} = \alpha$ ，则 $x$ 等于（

(A) $u_{\frac{\alpha}{2}}$

(B) $u_{1 - \frac{\alpha}{2}}$

(C) $u_{\frac{1 - \alpha}{2}}$

(D) $u_{1 - \alpha}$

(14) 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n > 1)$ 独立同分布, 且其方差为 $\sigma^{2} > 0$ . 令 $Y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ , 则( )

$\left(\mathrm{A}\right)\operatorname {Cov}\left(X_{1},Y\right) = \frac{\sigma^{2}}{n}.$

(B) $\operatorname{Cov}(X_1, Y) = \sigma^2$ .

(C) $D(X_{1} + Y) = \frac{n + 2}{n}\sigma^{2}.$

$\left(\mathrm{D}\right) D\left(X_{1} - Y\right) = \frac{n + 1}{n} \sigma^{2}$ .

# 三、解答题(本题共9小题，满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15) (本题满分 12 分)

设 $\mathrm{e} < a < b < \mathrm{e}^2$ ，证明 $\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{\mathrm{e}^2} (b - a)$ .

(16) (本题满分 11 分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为 $9000\mathrm{kg}$ 的飞机, 着陆时的水平速度为 $700\mathrm{km/h}$ . 经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k = 6.0 \times 10^{6}$ ). 问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg 表示千克, $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米/小时.)

(17) (本题满分 12 分)

计算曲面积分

$$
I = \iint_ {\Sigma} 2 x ^ {3} \mathrm {d} y \mathrm {d} z + 2 y ^ {3} \mathrm {d} z \mathrm {d} x + 3 (z ^ {2} - 1) \mathrm {d} x \mathrm {d} y,
$$

其中 $\Sigma$ 是曲面 $z = 1 - x^{2} - y^{2}(z\geqslant 0)$ 的上侧

(18) (本题满分 11 分)

设有方程 $x^n + nx - 1 = 0$ ，其中 $n$ 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 $x_n$ ，并证明当 $\alpha > 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^\alpha$ 收敛。

(19) (本题满分 12 分)

设 $z = z(x, y)$ 是由 $x^{2} - 6xy + 10y^{2} - 2yz - z^{2} + 18 = 0$ 确定的函数，求 $z = z(x, y)$ 的极值点和极值.

(20) (本题满分 9 分)

设有齐次线性方程组

$$
\left\{ \begin{array}{l} (1 + a) x _ {1} + x _ {2} + \dots + x _ {n} = 0, \\ 2 x _ {1} + (2 + a) x _ {2} + \dots + 2 x _ {n} = 0, \\ \dots \dots \\ n x _ {1} + n x _ {2} + \dots + (n + a) x _ {n} = 0, \end{array} \right. \quad (n \geqslant 2),
$$

试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解

(21) (本题满分 9 分)

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5 \end{pmatrix}$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $A$ 是否可相似对角化.

(22) (本题满分 9 分)

设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(A) = \frac{1}{4}, P(B|A) = \frac{1}{3}, P(A|B) = \frac{1}{2}$ ，令

$$
X = \left\{ \begin{array}{l l} 1, A & \text {发 生}, \\ 0, A & \text {不 发 生}; \end{array} \right. \quad Y = \left\{ \begin{array}{l l} 1, B & \text {发 生}, \\ 0, B & \text {不 发 生}. \end{array} \right.
$$

求：（I）二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布；

(II) $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$ .

(23) (本题满分9分)

设总体 $X$ 的分布函数为

$$
F (x; \beta) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \frac {1}{x ^ {\beta}}, & x > 1, \\ 0, & x \leqslant 1, \end{array} \right.
$$

其中未知参数 $\beta > 1, X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求：

(I) $\beta$ 的矩估计量;  
(II) $\beta$ 的最大似然估计量.