# 2006年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分)

(1) $\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1 + x)}{1 - \cos{x}} = \underline{\quad}.$   
(2) 微分方程 $y' = \frac{y(1 - x)}{x}$ 的通解是  
(3) 设 $\Sigma$ 是锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2} (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧, 则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d}y \mathrm{~d}z + 2y \mathrm{~d}z \mathrm{~d}x + 3(z - 1) \mathrm{d}x \mathrm{~d}y = \underline{\quad}$ .  
(4) 点 $(2,1,0)$ 到平面 $3x + 4y + 5z = 0$ 的距离 $d = \_$   
(5) 设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{E}$ 为 2 阶单位矩阵, 矩阵 $\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{BA} = \mathbf{B} + 2\mathbf{E}$ , 则 $|\mathbf{B}| =$ ______.   
(6) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布, 由 $P\{\max \{X,Y\} \leqslant 1\} =$

# 二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)

(7) 设函数 $y = f(x)$ 具有二阶导数, 且 $f^{\prime}(x) > 0, f^{\prime \prime}(x) > 0, \Delta x$ 为自变量 $x$ 在点 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分, 若 $\Delta x > 0$ , 则( )

(A) $0 < \mathrm{dy} < \Delta y$

(B) $0 < \Delta y < \mathrm{d}y$

(C) $\Delta y < \mathrm{d}y < 0$ .

(D) $\mathrm{dy} < \Delta y < 0$ .

(8) 设 $f(x, y)$ 为连续函数, 则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d}r$ 等于( )

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{d}x \int_{x}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x, y) \, \mathrm{d}y.$

(B) $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}x\int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y.$

(C) $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}y\int_{y}^{\sqrt{1 - y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x.$

$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}y\int_0^{\sqrt{1 - y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x.$

(9) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则级数( )

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛.

(B) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}$ 收敛.

(C) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.

(D) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$ 收敛.

(10) 设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数, 且 $\varphi_y'(x, y) \neq 0$ . 已知 $(x_0, y_0)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的一个极值点, 下列选项正确的是 ( )

(A) 若 $f_{x}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) = 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) = 0$ .  
(B) 若 $f_{x}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) = 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$   
(C) 若 $f_{x}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) = 0$ .  
(D) 若 $f_{x}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$ .

(11) 设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 均为 $n$ 维列向量， $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（ ）

(A) 若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 线性相关, 则 $A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \dots, A\alpha_{s}$ 线性相关.  
(B) 若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 线性相关, 则 $A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \dots, A\alpha_{s}$ 线性无关.  
(C) 若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 线性无关, 则 $A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \dots, A\alpha_{s}$ 线性相关.   
(D) 若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 线性无关, 则 $A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \dots, A\alpha_{s}$ 线性无关.

(12) 设 $A$ 为 3 阶矩阵, 将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ , 再将 $B$ 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ,

记 $\pmb{P} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , 则( )

(A) $C = P^{-1}AP$

(B) $C = P A P^{-1}$ .

(C) $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ .

(D) $C = P A P^{\mathrm{T}}$

(13) 设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(B) > 0, P(A \mid B) = 1$ ，则必有（）

$(A)P(A \cup B) > P(A)$ .

(B) $P(A \cup B) > P(B)$ .

(C) $P(A \cup B) = P(A)$ .

(D) $P(A \cup B) = P(B)$ .

（14）设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu_1,\sigma_1^2),Y$ 服从正态分布 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ ，且

$$
P \left\{\left| X - \mu_ {1} \right| <   1 \right\} > P \left\{\left| Y - \mu_ {2} \right| <   1 \right\},
$$

则必有( )

(A) $\sigma_{1} < \sigma_{2}$ .

(B) $\sigma_{1} > \sigma_{2}$ .

$(\mathrm{C})\mu_{1} <   \mu_{2}$

$(\mathrm{D})\mu_{1} > \mu_{2}$

# 三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15) (本题满分 10 分)

设区域 $D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\}$ , 计算二重积分 $I = \iint_{D} \frac{1 + xy}{1 + x^2 + y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ .

(16) (本题满分 12 分)

设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $0 < x_{1} < \pi, x_{n+1} = \sin x_{n} (n = 1,2,\dots)$ .

（I）证明 $\lim_{n\to \infty}x_n$ 存在，并求该极限；  
（Ⅱ）计算 $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{x_{n + 1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x^n}}.$

(17) (本题满分 12 分)

将函数 $f(x) = \frac{x}{2 + x - x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数

(18) (本题满分 12 分)

设函数 $f(u)$ 在 $(0, +\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z = f(\sqrt{x^2 + y^2})$ 满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0.$

(I) 验证 $f^{\prime \prime}(u) + \frac{f^{\prime}(u)}{u} = 0$ ;   
（Ⅱ）若 $f(1) = 0, f'(1) = 1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.

(19) (本题满分 12 分)

设在上半平面 $D = \{(x,y) \mid y > 0\}$ 内，函数 $f(x,y)$ 具有连续偏导数，且对任意的 $t > 0$ 都有

$$
f (t x, t y) = t ^ {- 2} f (x, y).
$$

证明：对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d}x - x f(x, y) \mathrm{d}y = 0$ .

(20) (本题满分 9 分)

已知非齐次线性方程组 $\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = -1, \\ 4x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} - x_{4} = -1, \\ ax_{1} + x_{2} + 3x_{3} + bx_{4} = 1 \end{array} \right.$ 有3个线性无关的解.

（I）证明方程组系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩 $r(A) = 2$   
（Ⅱ）求 $a,b$ 的值及方程组的通解

(21) (本题满分 9 分)

设3阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的各行元素之和均为3.向量 $\pmb{\alpha}_{1} = (-1,2, - 1)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{2} = (0, - 1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $Ax = 0$ 的两个解.

（I）求 $A$ 的特征值与特征向量；  
（Ⅱ）求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda$

(22) (本题满分 9 分)

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}, & -1 < x < 0, \\ \frac{1}{4}, & 0 \leqslant x < 2, \\ 0, & \text{其他.} \end{array} \right.$ 令 $Y = X^2, F(x, y)$ 为二维随机变量

量 $(X,Y)$ 的分布函数，求：

(I) $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ;  
(II) $F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ .

(23) (本题满分 9 分)

设总体 $X$ 的概率密度为

$$
f (x; \theta) = \left\{ \begin{array}{l l} \theta , & 0 <   x <   1, \\ 1 - \theta , & 1 \leqslant x <   2, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right.
$$

其中 $\theta$ 是未知参数 $(0 < \theta < 1)$ . $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 中小于 1 的个数. 求 $\theta$ 的最大似然估计.