# 2007年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分)

(1)当 $x \to 0^{+}$ 时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是( )

(A) $1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$

(B) $\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}$ .

(C) $\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1$ .

(D) $1 - \cos \sqrt{x}$ .

(2) 曲线 $y = \frac{1}{x} + \ln (1 + \mathrm{e}^{x})$ 渐近线的条数为（ ）

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

(3)如图,连续函数 $y = f(x)$ 在区间 $[-3, -2]$ , $[2, 3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间 $[-2, 0]$ , $[0, 2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周. 设 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d}t$ ，则下列结

论正确的是( )

$\mathrm{(A)}F(3) = -\frac{3}{4} F(-2).$   
(B) $F(3) = \frac{5}{4} F(2)$ .   
$\mathrm{(C)}F(-3) = \frac{3}{4} F(2).$   
$\left(\mathrm{D}\right) F(-3) = -\frac{5}{4} F(-2)$ .

![](images/953e153f419097465ca8ddb42a5439ce75562323ac837ef1df2e2af60cd7d83e.jpg)

(4) 设函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续, 下列命题错误的是( )

(A) 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0) = 0$ .

(B) 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0) = 0$ .

(C) 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f'(0)$ 存在.

(D) 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f'(0)$ 存在.

(5) 设函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f''(x) > 0$ ，令 $u_n = f(n) (n = 1, 2, \dots)$ ，则下列结论正确的是（）

(A) 若 $u_{1} > u_{2}$ , 则 $\{u_{n}\}$ 必收敛.

(B) 若 $u_{1} > u_{2}$ , 则 $\{u_{n}\}$ 必发散.

(C) 若 $u_{1} < u_{2}$ , 则 $\{u_{n}\}$ 必收敛.

(D) 若 $u_{1} < u_{2}$ , 则 $\{u_{n}\}$ 必发散.

(6) 设曲线 $L: f(x, y) = 1 (f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数) 过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N$ , $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧, 则下列积分小于零的是( )

(A) $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d}x.$

(B) $\int_{\Gamma} f(x, y) \, \mathrm{d}y.$

(C) $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d}s.$

(D) $\int_{\Gamma} f_x'(x, y) \, \mathrm{d}x + f_y'(x, y) \, \mathrm{d}y.$

(7)设向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

(A) $\alpha_{1} - \alpha_{2}, \alpha_{2} - \alpha_{3}, \alpha_{3} - \alpha_{1}$ .

(B) $\pmb{\alpha}_{1} + \pmb{\alpha}_{2}, \pmb{\alpha}_{2} + \pmb{\alpha}_{3}, \pmb{\alpha}_{3} + \pmb{\alpha}_{1}$ .

(C) $\alpha_{1} - 2\alpha_{2}, \alpha_{2} - 2\alpha_{3}, \alpha_{3} - 2\alpha_{1}$ .

(D) $\pmb{\alpha}_{1} + 2\pmb{\alpha}_{2}, \pmb{\alpha}_{2} + 2\pmb{\alpha}_{3}, \pmb{\alpha}_{3} + 2\pmb{\alpha}_{1}$ .

(8) 设矩阵 $\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right), \mathbf{B} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ ，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ ( )

(A) 合同, 且相似.

(B)合同,但不相似.

(C) 不合同, 但相似.

(D)既不合同,也不相似.

(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）

(A) $3p(1 - p)^2$

(B) $6p(1 - p)^2$

(C) $3p^{2}(1 - p)^{2}$ .

(D) $6p^{2}(1 - p)^{2}$ .

(10) 设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关， $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 分别表示 $X, Y$ 的概率密度，则在 $Y = y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度 $f_{X|Y}(x | y)$ 为（）

(A) $f_{X}(x)$

(B) $f_{Y}(y)$

$(\mathrm{C})f_{X}(x)f_{Y}(y)$

$\mathrm{(D)}\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}.$

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分)

(11) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \, \mathrm{d}x = \underline{\quad}$ .   
(12) 设 $f(u, v)$ 为二元可微函数， $z = f(x^y, y^x)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \_$   
(13)二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 3y = 2\mathrm{e}^{2x}$ 的通解为 $y =$   
(14) 设曲面 $\Sigma: |x| + |y| + |z| = 1$ ，则 $\iint_{\Sigma} (x + |y|) \, \mathrm{d}S = \_$

(15) 设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $\mathbf{A}^3$ 的秩为 ______.  
(16) 在区间 $(0, 1)$ 中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为

# 三、解答题(本题共8小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(17)(本题满分11分)

求函数 $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - x^2y^2$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leqslant 4, y \geqslant 0\}$ 上的最大值和最小值.

(18) (本题满分 10 分)

计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} xz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + 2zy \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + 3xy \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z = 1 - x^2 - \frac{y^2}{4} (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧.

(19)(本题满分11分)

设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值， $f(a) = g(a)$ ， $f(b) = g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $f''(\xi) = g''(\xi)$ .

(20) (本题满分 10 分)

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(- \infty, +\infty)$ 内收敛，其和函数 $y(x)$ 满足

$$
y ^ {\prime \prime} - 2 x y ^ {\prime} - 4 y = 0, \quad y (0) = 0, \quad y ^ {\prime} (0) = 1.
$$

(I) 证明 $a_{n+2} = \frac{2}{n+1} a_n, n = 1, 2, \cdots$ ;

（Ⅱ）求 $y(x)$ 的表达式

(21) (本题满分 11 分)

设线性方程组

$$
\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} = 0, \\ x _ {1} + 2 x _ {2} + a x _ {3} = 0, \\ x _ {1} + 4 x _ {2} + a ^ {2} x _ {3} = 0 \end{array} \right. \tag {①}
$$

与方程

$$
x _ {1} + 2 x _ {2} + x _ {3} = a - 1 \tag {②}
$$

有公共解, 求 $a$ 的值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = 2, \lambda_{3} = -2$ ，且 $\pmb{\alpha}_{1} = (1, -1, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于 $\lambda_{1}$ 的一个特征向量. 记 $\pmb{B} = \pmb{A}^{5} - 4\pmb{A}^{3} + \pmb{E}$ ，其中 $\pmb{E}$ 为3阶单位矩阵.

(I) 验证 $\alpha_{1}$ 是矩阵 $\pmb{B}$ 的特征向量, 并求 $\pmb{B}$ 的全部特征值与特征向量;  
（Ⅱ）求矩阵 $\pmb{B}$

(23) (本题满分 11 分)

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$
f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 - x - y, & 0 <   x <   1, 0 <   y <   1, \\ 0, & \text {其 他}. \end{array} \right.
$$

(I)求 $P\{X > 2Y\}$   
（Ⅱ）求 $Z = X + Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$

(24) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率密度为

$$
f (x; \theta) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{2 \theta}, & 0 <   x <   \theta , \\ \frac {1}{2 (1 - \theta)}, & \theta \leqslant x <   1, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right.
$$

其中参数 $\theta (0 < \theta < 1)$ 未知， $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\overline{X}$ 是样本均值.

(I) 求参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ ;  
（Ⅱ）判断 $4\overline{X}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计量，并说明理由.