# 2008年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)

(1) 设函数 $f(x) = \int_{0}^{x^2} \ln (2 + t) \, \mathrm{d}t$ ，则 $f'(x)$ 的零点个数为（ ）

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

(2) 函数 $f(x, y) = \arctan \frac{x}{y}$ 在点 (0,1) 处的梯度等于（ ）

(A) $i$ .

(B) $-\pmb{i}$ .

(C) $j$

(D) $-j$ .

(3)在下列微分方程中，以 $y = C_1\mathrm{e}^x +C_2\cos 2x + C_3\sin 2x(C_1,C_2,C_3$ 为任意常数）为通解的是（

(A) $y^{\prime \prime \prime} + y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} - 4y = 0.$

(B) $y^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} + 4y^{\prime} + 4y = 0.$

(C) $y^{\prime \prime \prime} - y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0.$

(D) $y^{\prime \prime \prime} - y^{\prime \prime} + 4y^{\prime} - 4y = 0.$

(4) 设函数 $f(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内单调有界， $\{x_{n}\}$ 为数列，下列命题正确的是（）

(A) 若 $\{x_{n}\}$ 收敛, 则 $\{f(x_{n})\}$ 收敛.

(B) 若 $\{x_{n}\}$ 单调, 则 $\{f(x_{n})\}$ 收敛.

(C) 若 $\{f(x_{n})\}$ 收敛, 则 $\{x_{n}\}$ 收敛.

(D) 若 $\{f(x_{n})\}$ 单调, 则 $\{x_{n}\}$ 收敛.

(5) 设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵, $\pmb{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A^3 = O$ , 则( )

(A) $E - A$ 不可逆, $E + A$ 不可逆.

(B) $E - A$ 不可逆, $E + A$ 可逆.

(C) $E - A$ 可逆, $E + A$ 可逆.

(D) $E - A$ 可逆, $E + A$ 不可逆.

(6) 设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵, 如果二次曲面方程

$$
(x, y, z) \boldsymbol {A} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = 1
$$

在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 $A$ 的正特征值的个数为（ ）

![](images/a6b0d31b446dd394efbff05a5f60626a44aed34118b24b3b79ef922c7fff558d.jpg)

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

(7) 设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z = \max \{X, Y\}$ 的分布函数为（ ）

(A) $F^2(x)$ .

(B) $F(x)F(y)$ .

(C) $1 - [1 - F(x)]^2$

(D) $\left[1 - F(x)\right]\left[1 - F(y)\right]$ .

(8) 设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{XY} = 1$ ，则（）

(A) $P\{Y = -2X - 1\} = 1.$

(B) $P\{Y = 2X - 1\} = 1.$

(C) $P\{Y = -2X + 1\} = 1.$

(D) $P\{Y = 2X + 1\} = 1.$

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分)

(9) 微分方程 $xy' + y = 0$ 满足条件 $y(1) = 1$ 的解是 $y =$ ______.  
(10)曲线 $\sin (xy) + \ln (y - x) = x$ 在点(0,1)处的切线方程是

(11)已知幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(x + 2)^n$ 在 $x = 0$ 处收敛，在 $x = -4$ 处发散，则幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(x - 3)^n$ 的收敛域为

(12) 设曲面 $\Sigma$ 是 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma} xy \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + x \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \underline{\quad}$ .  
(13) 设 $A$ 为 2 阶矩阵, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为线性无关的 2 维列向量, $A\alpha_{1} = 0, A\alpha_{2} = 2\alpha_{1} + \alpha_{2}$ , 则 $A$ 的非零特征值为  
(14) 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布, 则 $P\{X = E(X^2)\} =$ ________.

# 三、解答题(本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15) (本题满分9分)

求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\left[\sin x - \sin(\sin x)\right]\sin x}{x^4}.$

(16)(本题满分9分)

计算曲线积分 $\int_{L} \sin 2x \, \mathrm{d}x + 2(x^2 - 1)y \, \mathrm{d}y$ ，其中 $L$ 是曲线 $y = \sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi,0)$ 的一段.

(17)(本题满分11分)

已知曲线 $C: \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0, \\ x + y + 3z = 5, \end{array} \right.$ 求曲线 $C$ 上距离 $xOy$ 面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分 10 分)

设 $f(x)$ 是连续函数，

(I) 利用定义证明函数 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ 可导，且 $F'(x) = f(x)$ ；  
(II) 当 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数时, 证明 $G(x) = 2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d}t - x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d}t$ 也是以 2 为周期的周期函数.

(19)(本题满分11分)

将函数 $f(x) = 1 - x^{2}(0\leqslant x\leqslant \pi)$ 展开成余弦级数,并求 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n^2}$ 的和.

(20) (本题满分 10 分)

设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，矩阵 $A = \alpha \alpha^{\mathrm{T}} + \beta \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha^{\mathrm{T}}, \beta^{\mathrm{T}}$ 分别是 $\alpha, \beta$ 的转置.证明：

(I) 秩 $r(A) \leqslant 2$ ;   
（Ⅱ）若 $\alpha ,\beta$ 线性相关，则秩 $r(A) < 2$

(21) (本题满分 12 分)

设 $n$ 元线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ，其中

$$
\boldsymbol {A} = \left( \begin{array}{c c c c c} 2 a & 1 & & & \\ a ^ {2} & 2 a & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & a ^ {2} & 2 a & 1 \\ & & & a ^ {2} & 2 a \end{array} \right), \quad \boldsymbol {x} = \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ \vdots \\ x _ {n} \end{array} \right), \quad \boldsymbol {b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right).
$$

(I) 证明行列式 $|\mathbf{A}| = (n + 1)a^{n}$ ;  
（Ⅱ）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$   
（Ⅲ）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解

(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 的概率分布为 $P\{X = i\} = \frac{1}{3} (i = -1,0,1), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant y < 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$ 记 $Z = X + Y$ .

(I) 求 $P\left\{Z \leqslant \frac{1}{2} \mid X = 0\right\}$ ;   
（Ⅱ）求 $Z$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$

(23) (本题满分 11 分)

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是总体 $N(\mu, \sigma^{2})$ 的简单随机样本，记

$$
\bar {X} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} X _ {i}, \quad S ^ {2} = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(X _ {i} - \bar {X}\right) ^ {2}, \quad T = \bar {X} ^ {2} - \frac {1}{n} S ^ {2}.
$$

(I) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量；  
（Ⅱ）当 $\mu = 0, \sigma = 1$ 时，求 $D(T)$