# 2009年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)

(1) 当 $x \to 0$ 时, $f(x) = x - \sin ax$ 与 $g(x) = x^2 \ln (1 - bx)$ 是等价无穷小量, 则( )

(A) $a = 1, b = -\frac{1}{6}$ .

(B) $a = 1, b = \frac{1}{6}$ .

(C) $a = -1, b = -\frac{1}{6}$ .

(D) $a = -1, b = \frac{1}{6}$ .

(2)如图，正方形 $\{(x,y)\mid |x|\leqslant 1,|y|\leqslant 1\}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_{k}(k = 1,2,3,4),I_{k} = \iint_{D_{k}}y\cos x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，则 $\max_{1\leqslant k\leqslant 4}\left\{I_k\right\} = (\quad)$

(A) $I_{1}$ .

(B) $I_{2}$ .

(C) $I_{3}$ .

(D) $I_{4}$ .

(3) 设函数 $y = f(x)$ 在区间 $[-1, 3]$ 上的图形如右图所示，则函数 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d}t$ 的图形为（ ）

![](images/f0ad81bede8b383c81253f0a73011914681fc2f2a11e0dc7594747fecdb7b24b.jpg)

(A)

![](images/71ca8ffd0df0176c2a87155b71c4ac8ad9102037ab86fbdc738e4f3b94c0a250.jpg)

(B)

![](images/6948bb1a1bf4296852c1eb7e8973f665840f8dd10fc670df7e4bd9e66fa35ddd.jpg)

![](images/9b1b9712cbf2e4a626ca95a50434a133a693d4785d1172454d82a9b315abbed1.jpg)

(C)

![](images/44ac9b23a8d8675c3aff6f33183e31e714f66e9d1804d87eac41c0bb2dedfd1c.jpg)

(D)

![](images/7fb46f026167894cb065ce3c70f7c27ea2a3bf15bbcf5fc6daecdfa91a73ef54.jpg)

(4) 设有两个数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ , 若 $\lim_{n\to \infty}a_n = 0$ , 则( )

(A) 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛.

(B) 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散.

(C) 当 $\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛.

(D) 当 $\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散.

(5) 设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 维向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一组基, 则由基 $\alpha_{1}, \frac{1}{2} \alpha_{2}, \frac{1}{3} \alpha_{3}$ 到基 $\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} + \alpha_{1}$ 的过渡矩阵为 ( )

(A) $\left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 3 \end{array} \right)$

(B) $\left( \begin{array}{lll}1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right)$

$$
\mathrm {(C)} \left( \begin{array}{c c c} \frac {1}{2} & \frac {1}{4} & - \frac {1}{6} \\ - \frac {1}{2} & \frac {1}{4} & \frac {1}{6} \\ \frac {1}{2} & - \frac {1}{4} & \frac {1}{6} \end{array} \right).
$$

$$
\text {(D)} \left( \begin{array}{c c c} \frac {1}{2} & - \frac {1}{2} & \frac {1}{2} \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{4} & - \frac {1}{4} \\ - \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} \end{array} \right).
$$

(6) 设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^{*}, B^{*}$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵，若 $|A| = 2, |B| = 3$ ，则分块矩阵 $\left( \begin{array}{cc} O & A \\ B & O \end{array} \right)$ 的伴随矩阵为（ ）

(A) $\left( \begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & 3\boldsymbol{B}^* \\ 2\boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{O} \end{array} \right)$ .

(B) $\left( \begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & 2\boldsymbol{B}^* \\ 3\boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{O} \end{array} \right)$ .

(C) $\left( \begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & 3\boldsymbol{A}^* \\ 2\boldsymbol{B}^* & \boldsymbol{O} \end{array} \right)$ .

(D) $\left( \begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & 2\boldsymbol{A}^* \\ 3\boldsymbol{B}^* & \boldsymbol{O} \end{array} \right)$ .

(7) 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x) = 0.3\Phi(x) + 0.7\Phi\left(\frac{x - 1}{2}\right)$ , 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数, 则 $E(X) = (\quad)$

(A)0.

(B)0.3.

(C)0.7.

(D)1.

(8) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ , $Y$ 的概率分布为 $P\{Y = 0\} = P\{Y = 1\} = \frac{1}{2}$ . 记 $F_Z(z)$ 为随机变量 $Z = XY$ 的分布函数, 则函数 $F_Z(z)$ 的间断点个数为( )

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分)

(9) 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $z = f(x, xy)$ ，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} =$ ______.  
(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程 $y'' + ay' + by = 0$ 的通解为 $y = (C_1 + C_2x)\mathrm{e}^x$ ，则非齐次方程 $y'' + ay' + by = x$ 满足条件 $y(0) = 2, y'(0) = 0$ 的解为 $y =$ ______.  
(11)已知曲线 $L:y = x^{2}\left(0\leqslant x\leqslant \sqrt{2}\right)$ ，则 $\int_{L}x\mathrm{d}s =$   
(12) 设 $\Omega = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 1\}$ , 则 $\iiint_{\Omega} z^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \_$ .   
(13)若3维列向量 $\alpha ,\beta$ 满足 $\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb {\beta} = 2$ ，其中 $\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\pmb{\alpha}$ 的转置，则矩阵 $\beta \alpha^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为  
(14) 设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\overline{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差，若 $\overline{X} + kS^{2}$ 为 $np^{2}$ 的无偏估计量，则 $k =$

# 三、解答题(本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15) (本题满分9分)

求二元函数 $f(x, y) = x^{2}(2 + y^{2}) + y \ln y$ 的极值.

(16)(本题满分9分)

设 $a_{n}$ 为曲线 $y = x^{n}$ 与 $y = x^{n + 1}(n = 1,2,\dots)$ 所围成区域的面积，记 $S_{1} = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n},S_{2} = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n - 1}$ 求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值.

(17)(本题满分11分)

椭球面 $S_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = 1$ 绕 $x$ 轴旋转而成，圆锥面 $S_{2}$ 是由过点(4,0)且与椭圆 $\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = 1$ 相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成.

(I) 求 $S_{1}$ 及 $S_{2}$ 的方程；  
（Ⅱ）求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间的立体的体积

(18) (本题满分 11 分)

(I) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 则存在 $\xi \in (a, b)$ , 使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$ .  
(II) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续, 在 $(0, \delta)$ ( $\delta > 0$ ) 内可导, 且 $\lim_{x \to 0^{+}} f'(x) = A$ , 则 $f'_+(0)$ 存在, 且 $f'_+(0) = A$ .

(19) (本题满分 10 分)

计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} \frac{x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + y \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}$ , 其中 $\Sigma$ 是曲面 $2x^2 + 2y^2 + z^2 = 4$ 的外侧.

(20) (本题满分 11 分)

设 $A = \left( \begin{array}{rrr}1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 0 & -4 & -2 \end{array} \right),\pmb{\xi}_1 = \left( \begin{array}{r} - 1\\ 1\\ -2 \end{array} \right).$

(I) 求满足 $A \pmb{\xi}_{2} = \pmb{\xi}_{1}, A^{2} \pmb{\xi}_{3} = \pmb{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\pmb{\xi}_{2}, \pmb{\xi}_{3}$ ;  
（Ⅱ）对（I）中的任意向量 $\pmb{\xi}_2,\pmb{\xi}_3$ ，证明 $\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,\pmb{\xi}_3$ 线性无关

(21) (本题满分 11 分)

设二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + (a - 1)x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{3} - 2x_{2}x_{3}.$

（I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；  
（Ⅱ）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值

(22) (本题满分 11 分)

袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球. 现有放回地从袋中取两次, 每次取一个球. 以 $X, Y, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(I) 求 $P\{X = 1 \mid Z = 0\}$ ;   
（Ⅱ）求二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}\lambda^2 x\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x > 0,\\ 0, & \text{其他，} \end{array} \right.$ 其中参数 $\lambda (\lambda >0)$ 未知， $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.

(I)求参数 $\lambda$ 的矩估计量；  
(II) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量.