# 2010年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 极限 $\lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^2}{(x - a)(x + b)}\right]^x = (\quad)$

(A)1.

(B)e.

(C) $\mathrm{e}^{a - b}$ .

(D) $\mathrm{e}^{b - a}$ .

(2) 设函数 $z = z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right) = 0$ 确定，其中 $F$ 为可微函数，且 $F_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =$ （）

(A) $x$

(B) $z$

(C) $-x$ .

(D) $-z$ .

(3) 设 $m, n$ 均是正整数，则反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln^2(1 - x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{d}x$ 的收敛性（ ）

(A) 仅与 $m$ 的取值有关.

(B) 仅与 $n$ 的取值有关.

(C) 与 $m, n$ 的取值都有关.

(D)与 $m,n$ 的取值都无关

(4) $\lim_{n\to \infty}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}\frac{n}{(n + i)(n^2 + j^2)} = (\quad)$

(A) $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^x\frac{1}{(1 + x)(1 + y^2)}\mathrm{d}y.$

(B) $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^x\frac{1}{(1 + x)(1 + y)}\mathrm{d}y.$

(C) $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{(1 + x)(1 + y)}\mathrm{d}y.$

(D) $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{(1 + x)(1 + y^2)}\mathrm{d}y.$

(5) 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, $B$ 为 $n \times m$ 矩阵, $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵, 若 $AB = E$ , 则( )

(A) 秩 $r(\mathbf{A}) = m$ ，秩 $r(\mathbf{B}) = m$ .

(B) 秩 $r(\mathbf{A}) = m$ ，秩 $r(\mathbf{B}) = n$ .

(C) 秩 $r(\mathbf{A}) = n$ ，秩 $r(\mathbf{B}) = m$ .

(D) 秩 $r(\mathbf{A}) = n$ ，秩 $r(\mathbf{B}) = n$ .

(6) 设 $A$ 为4阶实对称矩阵，且 $A^2 + A = O$ . 若 $A$ 的秩为3，则 $A$ 相似于（）

(A) $\left( \begin{array}{cccc}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0 \end{array} \right)$ .

(B) $\left( \begin{array}{cccc}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{array} \right).$

( C ) $\left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & & & \\ & { - 1 } & & \\ & & { - 1 } & \\ & & & { 0 } \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{rrrr} - 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{array} \right).$

(7) 设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1 - \mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1, \end{array} \right.$ 则 $P\{X = 1\} = (\quad)$

(A)0.

(B) $\frac{1}{2}$ .

(C) $\frac{1}{2} - \mathrm{e}^{-1}$ .

(D) $1 - \mathrm{e}^{-1}$ .

(8) 设 $f_{1}(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_{2}(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度, 若

$$
f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} a f _ {1} (x), & x \leqslant 0, \\ b f _ {2} (x), & x > 0 \end{array} \right. (a > 0, b > 0)
$$

为概率密度, 则 $a, b$ 应满足( )

(A) $2a + 3b = 4$

(B) $3a + 2b = 4$

(C) $a + b = 1$

(D) $a + b = 2$

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9) 设 $\left\{ \begin{array}{l} x = \mathrm{e}^{-t}, \\ y = \int_{0}^{t} \ln (1 + u^{2}) \, \mathrm{d}u, \end{array} \right.$ 则 $\left. \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \right|_{t=0} = \_$ .   
(10) $\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{d}x = \underline{\quad}$ .   
(11)已知曲线 $L$ 的方程为 $y = 1 - |x|(x\in [-1,1])$ ，起点是 $(-1,0)$ ，终点为 $(1,0)$ ，则曲线积分 $\int_{L}xy\mathrm{d}x + x^{2}\mathrm{d}y = \underline{\quad}$   
(12) 设 $\Omega = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 \leqslant z \leqslant 1\}$ , 则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $\bar{z} = \_$ .  
(13) 设 $\pmb{\alpha}_{1} = (1,2, - 1,0)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{2} = (1,1,0,2)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{3} = (2,1,1,a)^{\mathrm{T}}$ 若由 $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$ 生成的向量空间的维数为2，则 $a =$   
(14) 设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X = k\} = \frac{C}{k!}, k = 0,1,2,\dots,$ 则 $E(X^2) = \_$

# 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(15)(本题满分10分)

求微分方程 $y^{\prime \prime} - 3y^{\prime} + 2y = 2x\mathrm{e}^{x}$ 的通解

(16)(本题满分 10 分)

求函数 $f(x) = \int_{1}^{x^2}(x^2 -t)\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$ 的单调区间与极值

(17)(本题满分10分)

(I) 比较 $\int_{0}^{1} |\ln t| [\ln (1 + t)]^{n} \mathrm{d}t$ 与 $\int_{0}^{1} t^{n} |\ln t| \mathrm{d}t (n = 1,2,\dots)$ 的大小，说明理由；  
（Ⅱ）记 $u_{n} = \int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1 + t)]^{n}\mathrm{d}t(n = 1,2,\dots)$ ，求极限 $\lim_{n\to \infty}u_n$

(18)(本题满分10分)

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n}$ 的收敛域及和函数.

(19)(本题满分 10 分)

设 $P$ 为椭球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 - yz = 1$ 上的动点, 若 $S$ 在点 $P$ 处的切平面与 $xOy$ 面垂直, 求点 $P$ 的轨迹 $C$ , 并计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} \frac{(x + \sqrt{3})|y - 2z|}{\sqrt{4 + y^2 + z^2 - 4yz}} \, \mathrm{d}S$ , 其中 $\Sigma$ 是椭球面 $S$ 位于曲线 $C$ 上方的部分.

(20) (本题满分 11 分)

设 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . 已知线性方程组 $Ax = b$ 存在2个不同的解.

(I)求 $\lambda ,a$   
（Ⅱ）求方程组 $Ax = b$ 的通解

(21) (本题满分 11 分)

已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x^{\mathrm{T}}Ax$ 在正交变换 $\pmb {x} = \pmb {Q}\pmb{y}$ 下的标准形为 $y_1^2 +y_2^2$ ，且 $\pmb{Q}$ 的第三列为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$

(I) 求矩阵 $A$ ；  
（Ⅱ）证明 $A + E$ 为正定矩阵，其中 $\pmb{E}$ 为3阶单位矩阵

(22) (本题满分 11 分)

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f (x, y) = A \mathrm {e} ^ {- 2 x ^ {2} + 2 x y - y ^ {2}}, - \infty <   x <   + \infty , - \infty <   y <   + \infty ,
$$

求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率分布为

<table><tr><td>X</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>P</td><td>1-θ</td><td>θ-θ2</td><td>θ2</td></tr></table>

其中参数 $\theta \in (0,1)$ 未知. 以 $N_{i}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本(样本容量为 $n$ ) 中等于 $i$ 的个数 $(i = 1,2,3)$ . 试求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ , 使 $T = \sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量, 并求 $T$ 的方差.