# 2011年全国硕士研究生招生考试试题
# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线 $y = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}(x - 4)^{4}$ 的拐点是( )
(A) $(1,0)$ .
(B) $(2,0)$ .
(C) $(3,0)$ .
(D) $(4,0)$ .
(2) 设数列 $\{a_{n}\}$ 单调减少, $\lim_{n\to \infty}a_n = 0, S_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k(n = 1,2,\dots)$ 无界, 则幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n(x - 1)^n$ 的收敛域为（）
(A) $(-1, 1]$ .
(B) $[-1, 1)$ .
(C)[0,2).
(D) $(0,2]$ .
(3) 设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f(x) > 0$ , $f'(0) = 0$ , 则函数 $z = f(x) \ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) $f(0) > 1$ , $f''(0) > 0$ .
(B) $f(0) > 1$ , $f''(0) < 0$ .
(C) $f(0) < 1$ , $f''(0) > 0$ .
$(\mathrm{D})f(0) < 1, f''(0) < 0.$
(4) 设 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \, \mathrm{d}x, J = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \, \mathrm{d}x, K = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \, \mathrm{d}x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为（ ）
(A) $I < J < K$ .
(B) $I < K < J$ .
(C) $J < I < K$ .
(D) $K < J < I$ .
(5) 设 $\mathbf{A}$ 为3阶矩阵, 将 $\mathbf{A}$ 的第2列加到第1列得矩阵 $\mathbf{B}$ , 再交换 $\mathbf{B}$ 的第2行与第3行得单位矩阵. 记 $\mathbf{P}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \mathbf{P}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ , 则 $\mathbf{A} = (\quad)$
(A) $P_{1} P_{2}$ .
(B) $P_{1}^{-1} P_{2}$ .
(C) $P_{2} P_{1}$ .
(D) $P_{2}P_{1}^{-1}$ .
(6) 设 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})$ 是 4 阶矩阵, $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵. 若 $(1,0,1,0)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系, 则 $A^{*}x = 0$ 的基础解系可为 ( )
(A) $\pmb{\alpha}_{1}, \pmb{\alpha}_{3}$ .
(B) $\pmb{\alpha}_{1}, \pmb{\alpha}_{2}$ .
(C) $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$
(D) $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ .
(7) 设 $F_{1}(x)$ 与 $F_{2}(x)$ 为两个分布函数, 其相应的概率密度 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ 是连续函数, 则必为概率密度的是 ( )
(A) $f_{1}(x)f_{2}(x)$ .
(B) $2f_{2}(x)F_{1}(x)$
$(\mathrm{C})f_{1}(x)F_{2}(x)$
$(\mathrm{D})f_{1}(x)F_{2}(x) + f_{2}(x)F_{1}(x).$
(8) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 存在, 记 $U = \max \{X, Y\}$ , $V = \min \{X, Y\}$ , 则 $E(UV) = (\quad)$
(A) $E(U)\cdot E(V)$
(B) $E(X)\cdot E(Y)$
(C) $E(U)\cdot E(Y)$
(D) $E(X)\cdot E(V)$
# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)
(9) 曲线 $y = \int_{0}^{x} \tan t \, \mathrm{d}t \left( 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4} \right)$ 的弧长 $s =$ ______.
(10) 微分方程 $y' + y = \mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0) = 0$ 的解为 $y =$ ______.
(11) 设函数 $F(x, y) = \int_{0}^{xy} \frac{\sin t}{1 + t^2} \mathrm{d}t$ ，则 $\left. \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right|_{\substack{x = 0 \\ y = 2}} =$ ________.
(12) 设 $L$ 是柱面 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与平面 $z = x + y$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向, 则曲线积分 $\oint_{L} x z \mathrm{~d} x + x \mathrm{~d} y + \frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z = \_$ .
(13) 若二次曲面的方程 $x^{2} + 3y^{2} + z^{2} + 2axy + 2xz + 2yz = 4$ 经正交变换化为 $y_{1}^{2} + 4z_{1}^{2} = 4$ , 则 $a = \_$ .
(14) 设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(\mu, \mu; \sigma^2, \sigma^2; 0)$ , 则 $E(XY^2) =$ ________.
# 三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求极限 $\lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1 + x)}{x}\right]^{\frac{1}{\mathrm{e}^x - 1}}.$
(16) (本题满分 9 分)
设函数 $z = f(xy, yg(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x = 1$ 处取得极值 $g(1) = 1$ . 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \Big|_{\substack{x = 1 \\ y = 1}}$ .
(17)(本题满分10分)
求方程 $\arctan x - x = 0$ 不同实根的个数, 其中 $k$ 为参数.
(18)(本题满分10分)
( I ) 证明: 对任意的正整数 $n$ , 都有 $\frac{1}{n + 1} < \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$ 成立;
（Ⅱ）设 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} +\dots +\frac{1}{n} -\ln n(n = 1,2,\dots)$ ，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛.
(19)(本题满分 11 分)
已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1,y) = 0$ ， $f(x,1) = 0$ ， $\iint_{D} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = a$ ，其中 $D = \{(x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $I = \iint_{D} xy f_{xy}''(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ .
(20) (本题满分 11 分)
设向量组 $\pmb{\alpha}_{1} = (1,0,1)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{2} = (0,1,1)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{3} = (1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\pmb{\beta}_{1} = (1,1,1)^{\mathrm{T}},$ $\pmb {\beta}_2 = (1,2,3)^{\mathrm{T}},\pmb {\beta}_3 = (3,4,a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示.
(I)求 $a$ 的值；
（Ⅱ）将 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 用 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性表示
(21) (本题满分 11 分)
设 $A$ 为3阶实对称矩阵， $A$ 的秩为2，且
$$
\boldsymbol {A} \left( \begin{array}{c c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right).
$$
(I)求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵 $A$
(22) (本题满分 11 分)
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\{X^2 = Y^2\} = 1$
(I) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（Ⅱ）求 $Z = XY$ 的概率分布；
(III) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$ .
(23) (本题满分 11 分)
设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N(\mu_0, \sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_0$ 已知， $\sigma^2 > 0$ 未知， $\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别表示样本均值和样本方差.
(I) 求参数 $\sigma^2$ 的最大似然估计 $\widehat{\sigma^2}$ ;
(II) 计算 $E(\widehat{\sigma^2})$ 和 $D(\widehat{\sigma^2})$ .