# 2012年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)曲线 $y = \frac{{x}^{2} + x}{{x}^{2} - 1}$ 的渐近线的条数为(   )

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

(2) 设函数 $f(x) = \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x} - 2\right) \dots \left(\mathrm{e}^{n x} - n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0) = (\quad)$

(A) $(-1)^{n - 1}(n - 1)!$ .

(B) $(-1)^{n}(n - 1)!$ .

(C) $(-1)^{n - 1} n!$ .

$(\mathrm{D})(-1)^n n!$

(3) 如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是( )

(A) 若极限 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{|x| + |y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微.  
(B) 若极限 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{x^2 + y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微.  
(C) 若 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微, 则极限 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{|x| + |y|}$ 存在.  
(D) 若 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微, 则极限 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{x^2 + y^2}$ 存在.

(4) 设 $I_{k} = \int_{0}^{k\pi}\mathrm{e}^{x^{2}}\sin x\mathrm{d}x(k = 1,2,3)$ , 则有( )

(A) $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ .

(B) $I_{3} < I_{2} < I_{1}$ .

(C) $I_{2} < I_{3} < I_{1}$ .

(D) $I_{2} < I_{1} < I_{3}$ .

(5) 设 $\pmb{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c_{1} \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ c_{2} \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ c_{3} \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{4} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ c_{4} \end{pmatrix}$ , 其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数, 则下列向量组线性相关的为( )

(A) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ .

(B) $\pmb{\alpha}_{1}, \pmb{\alpha}_{2}, \pmb{\alpha}_{4}$ .

(C) $\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ .

(D) $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ .

(6) 设 $A$ 为3阶矩阵， $P$ 为3阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . 若 $P = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ ， $Q = (\alpha_{1} + \alpha_{2},\alpha_{2},\alpha_{3})$ ，则 $Q^{-1}AQ = (\quad)$

(A) $\left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(B) $\left( \begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

(C) $\left( \begin{array}{lll}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

(D) $\left( \begin{array}{lll}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(7) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布, 则 $P\{X < Y\} = (\quad)$

(A) $\frac{1}{5}$ .

(B) $\frac{1}{3}$ .

(C) $\frac{2}{3}$ .

(D) $\frac{4}{5}$ .

(8)将长度为 $1 \mathrm{~m}$ 的木棒随机地截成两段, 则两段长度的相关系数为 ( )

(A) 1.

(B) $\frac{1}{2}$ .

(C) $-\frac{1}{2}$ .

(D) -1.

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9)若函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime}(x) - 2f(x) = 0$ 及 $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 2\mathrm{e}^{x}$ ，则 $f(x) = \_ .$

(10) $\int_0^2 x\sqrt{2x - x^2}\mathrm{d}x = \underline{\quad}$   
(11) $\mathbf{grad}\left(xy + \frac{z}{y}\right)\bigg|_{(2,1,1)} = \underline{\quad}.$   
(12) 设 $\Sigma = \{(x, y, z) \mid x + y + z = 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$ , 则 $\iint_{\Sigma} y^2 \mathrm{d}S = \underline{\quad}$ .   
(13)设 $\pmb{\alpha}$ 为3维单位列向量， $E$ 为3阶单位矩阵，则矩阵 $E - \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ 的秩为  
(14) 设 $A, B, C$ 是随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P(AB) = \frac{1}{2}, P(C) = \frac{1}{3}$ ，则 $P(AB \mid \overline{C}) =$ ______.

# 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(15)(本题满分10分)

证明: $x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^2}{2} (-1 < x < 1)$ .

(16)(本题满分 10 分)

求函数 $f(x,y) = x\mathrm{e}^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$ 的极值

(17)(本题满分10分)

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4n^{2} + 4n + 3}{2n + 1} x^{2n}$ 的收敛域及和函数.

(18)(本题满分10分)

已知曲线 $L:\left\{ \begin{array}{l}x = f(t),\\ y = \cos t \end{array} \right.$ ，其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0) = 0,f^{\prime}(t) > 0$ （ $0 <   t <   \frac{\pi}{2})$ 若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $L$ 及 $x$ 轴和 $y$ 轴为边界的区域的面积.

(19)(本题满分10分)

已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^{2} + y^{2} = 2x$ 到点 $(2,0)$ , 再沿圆周 $x^{2} + y^{2} = 4$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段, 计算曲线积分 $I = \int_{L}3x^{2}y\mathrm{d}x + (x^{3} + x - 2y)\mathrm{d}y.$

(20)(本题满分11分)

设 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 0\\ 0 & 0 & 1 & a\\ a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \pmb {\beta} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} .$

（I）计算行列式 $|\mathbf{A}|$ ；  
（Ⅱ）当实数 $a$ 为何值时，方程组 $Ax = \beta$ 有无穷多解，并求其通解

(21) (本题满分 11 分)

已知 $\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ -1 & 0 & a\\ 0 & a & -1 \end{array} \right)$ ，二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}A)x$ 的秩为2.

(I) 求实数 $a$ 的值；  
（Ⅱ）求正交变换 $x = Qy$ 将二次型 $f$ 化为标准形

(22) (本题满分 11 分)

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为

<table><tr><td>X\Y</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>0</td><td>1/4</td><td>0</td><td>1/4</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1/3</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>1/12</td><td>0</td><td>1/12</td></tr></table>

(I) 求 $P\{X = 2Y\}$ ;   
(II) 求 $\operatorname{Cov}(X - Y, Y)$ .

(23) (本题满分 11 分)

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 与 $N(\mu, 2\sigma^2)$ , 其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma > 0$ . 记 $Z = X - Y$ .

(I)求 $Z$ 的概率密度 $f(z;\sigma^2)$   
(II) 设 $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\widehat{\sigma^{2}}$ ；  
(III) 证明 $\widehat{\sigma^2}$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量.