# 2013年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)已知极限 $\lim_{x\to 0}\frac{x - \arctan{x}}{x^k} = c$ ，其中 $k,c$ 为常数，且 $c\neq 0$ ，则（

(A) $k = 2, c = -\frac{1}{2}$ .

(B) $k = 2, c = \frac{1}{2}$ .

(C) $k = 3, c = -\frac{1}{3}$ .

(D) $k = 3, c = \frac{1}{3}$ .

(2) 曲面 $x^{2} + \cos (xy) + yz + x = 0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为( )

(A) $x - y + z = -2$

(B) $x + y + z = 0$

(C) $x - 2y + z = -3.$

(D) $x - y - z = 0$

(3) 设 $f(x) = \left|x - \frac{1}{2}\right|, b_n = 2\int_0^1 f(x)\sin n\pi x\mathrm{d}x (n = 1,2,\dots)$ . 令 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\pi x$ ，则 $S\left(-\frac{9}{4}\right) =$ （）

(A) $\frac{3}{4}$ .

(B) $\frac{1}{4}$ .

(C) $-\frac{1}{4}$ .

(D) $-\frac{3}{4}$ .

(4) 设 $L_{1}: x^{2} + y^{2} = 1, L_{2}: x^{2} + y^{2} = 2, L_{3}: x^{2} + 2y^{2} = 2, L_{4}: 2x^{2} + y^{2} = 2$ 为四条逆时针方向的平面曲线. 记 $I_{i} = \oint_{L_{i}}\left(y + \frac{y^{3}}{6}\right)\mathrm{d}x + \left(2x - \frac{x^{3}}{3}\right)\mathrm{d}y (i = 1,2,3,4)$ , 则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\} = (\quad)$

(A) $I_{1}$ .

(B) $I_{2}$ .

$(\mathrm{C})I_{3}$

$(\mathrm{D})I_{4}$

(5) 设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $AB = C$ ，且 $B$ 可逆，则（ ）

(A) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价.  
(B) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价.  
(C) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $\pmb{B}$ 的行向量组等价  
(D) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $\pmb{B}$ 的列向量组等价.

(6)矩阵 $\left( \begin{array}{lll}1 & a & 1\\ a & b & a\\ 1 & a & 1 \end{array} \right)$ 与 $\left( \begin{array}{lll}2 & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ 相似的充分必要条件为（

(A) $a = 0, b = 2$ .

(B) $a = 0, b$ 为任意常数.

(C) $a = 2, b = 0$ .

$(\mathrm{D})a = 2,b$ 为任意常数

(7) 设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是随机变量，且 $X_{1} \sim N(0, 1), X_{2} \sim N(0, 2^{2}), X_{3} \sim N(5, 3^{2}), p_{i} = P\{-2 \leqslant X_{i} \leqslant 2\}$ （ $i = 1, 2, 3$ ），则（）

$(\mathrm{A})p_{1} > p_{2} > p_{3}$

(B) $p_2 > p_1 > p_3$

$(\mathrm{C})p_{3} > p_{1} > p_{2}$

$(\mathrm{D})p_{1} > p_{3} > p_{2}$

(8) 设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ , 给定 $\alpha (0 < \alpha < 0.5)$ , 常数 $c$ 满足 $P\{X > c\} = \alpha$ , 则 $P\{Y > c^2\} = (\quad)$

(A) $\alpha$ .

(B) $1 - \alpha$

(C) $2\alpha$

(D) $1 - 2\alpha$

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9) 设函数 $y = f(x)$ 由方程 $y - x = \mathrm{e}^{x(1 - y)}$ 确定, 则 $\lim_{n\to \infty}n\left[f\left(\frac{1}{n}\right) - 1\right] = \underline{\quad}$ .  
(10)已知 $y_{1} = \mathrm{e}^{3x} - x\mathrm{e}^{2x}, y_{2} = \mathrm{e}^{x} - x\mathrm{e}^{2x}, y_{3} = -x\mathrm{e}^{2x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为 $y =$   
(11) 设 $\left\{ \begin{array}{l} x = \sin t, \\ y = t \sin t + \cos t \end{array} \right.$ ( $t$ 为参数), 则 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\bigg|_{t=\frac{\pi}{4}}=$   
(12) $\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{(1 + x)^{2}}\mathrm{d}x = \underline{\quad}$   
(13) 设 $A = (a_{ij})$ 是 3 阶非零矩阵, $|A|$ 为 $A$ 的行列式, $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式. 若 $a_{ij} + A_{ij} = 0$ $(i,j = 1,2,3)$ , 则 $|A| = \_$ .  
(14) 设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布, $a$ 为常数且大于零, 则 $P\{Y \leqslant a + 1 \mid Y > a\} =$ ________.

# 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

(15)(本题满分10分)

计算 $\int_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ ，其中 $f(x) = \int_{1}^{x}\frac{\ln(t + 1)}{t}\mathrm{d}t.$

(16)(本题满分 10 分)

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足条件： $a_0 = 3,a_1 = 1,a_{n - 2} - n(n - 1)a_n = 0(n\geqslant 2),S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n$ 的和函数.

(I) 证明 $S''(x) - S(x) = 0$ ;  
（Ⅱ）求 $S(x)$ 的表达式

(17)(本题满分 10 分)

求函数 $f(x,y) = \left(y + \frac{x^3}{3}\right)\mathrm{e}^{x + y}$ 的极值

(18)(本题满分10分)

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1) = 1$ . 证明：

(I)存在 $\xi \in (0,1)$ , 使得 $f'(\xi) = 1$ ;  
（Ⅱ）存在 $\eta \in (-1,1)$ ，使得 $f''(\eta) + f'(\eta) = 1$

(19)(本题满分10分)

设直线 $L$ 过 $A(1,0,0),B(0,1,1)$ 两点，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma ,\Sigma$ 与平面 $z = 0,z = 2$ 所围成的立体为 $\Omega$

(I) 求曲面 $\Sigma$ 的方程；  
（Ⅱ）求 $\varOmega$ 的形心坐标

(20) (本题满分 11 分)

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ . 当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $AC - CA = B$ ，并求所有矩阵 $C$ .

(21) (本题满分 11 分)

设二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3})^{2} + (b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3})^{2}$ ，记

$$
\boldsymbol {\alpha} = \left( \begin{array}{c} a _ {1} \\ a _ {2} \\ a _ {3} \end{array} \right), \qquad \boldsymbol {\beta} = \left( \begin{array}{c} b _ {1} \\ b _ {2} \\ b _ {3} \end{array} \right).
$$

(I) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\alpha \alpha^{\mathrm{T}} + \beta \beta^{\mathrm{T}}$ ;  
(II) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ .

(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{9} x^2, & 0 < x < 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{array} \right.$ 令随机变量 $Y = \left\{ \begin{array}{ll} 2, & X \leqslant 1, \\ X, & 1 < X < 2, \\ 1, & X \geqslant 2. \end{array} \right.$

(I)求 $Y$ 的分布函数；  
（Ⅱ）求概率 $P\{X \leqslant Y\}$

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\theta^2}{x^3}\mathrm{e}^{-\frac{\theta}{x}}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{array} \right.$ 其中 $\theta$ 为未知参数且大于零. $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.

(I)求 $\theta$ 的矩估计量；  
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.