# 2014年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)下列曲线中有渐近线的是( )

(A) $y = x + \sin x$ .

(B) $y = x^{2} + \sin x$ .

(C) $y = x + \sin {\frac{1}{x}}.$

(D) $y = x^{2} + \sin{\frac{1}{x}}$ .

(2) 设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x) = f(0)(1 - x) + f(1)x$ , 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )

(A) 当 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$ .

(B) 当 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$ .

(C) 当 $f''(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$ .

(D) 当 $f''(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$ .

(3) 设 $f(x, y)$ 是连续函数, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{1 - y} f(x, y) \mathrm{d}x = (\quad)$

(A) $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{x - 1}f(x,y)\mathrm{d}y + \int_{-1}^0\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1 - x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y.$   
(B) $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1 - x}f(x,y)\mathrm{d}y + \int_{-1}^0\mathrm{d}x\int_{-\sqrt{1 - x^2}}^0 f(x,y)\mathrm{d}y.$   
(C) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta)\mathrm{d}r + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta)\mathrm{d}r.$   
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta)r\mathrm{d}r + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^1 f(r\cos \theta ,r\sin \theta)r\mathrm{d}r.$

(4) 若 $\int_{-\pi}^{\pi}\left(x - a_{1}\cos x - b_{1}\sin x\right)^{2}\mathrm{d}x = \min_{a,b\in \mathbf{R}}\left\{\int_{-\pi}^{\pi}\left(x - a\cos x - b\sin x\right)^{2}\mathrm{d}x\right\}$ , 则 $a_{1}\cos x + b_{1}\sin x = (\quad)$

(A) $2\sin x$

(B) $2\cos x$

(C) $2\pi \sin x$

(D) $2\pi \cos x$

(5)行列式 $\left| \begin{array}{cccc}0 & a & b & 0\\ a & 0 & 0 & b\\ 0 & c & d & 0\\ c & 0 & 0 & d \end{array} \right| = ()$

(A) $(ad - bc)^2$

(B) $-(ad - bc)^2$ .

(C) $a^2 d^2 - b^2 c^2$ .

(D) $b^{2}c^{2} - a^{2}d^{2}$ .

(6) 设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 均为 3 维向量, 则对任意常数 $k, l$ , 向量组 $\alpha_{1} + k\alpha_{3}, \alpha_{2} + l\alpha_{3}$ 线性无关是向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关的 ( )

(A) 必要非充分条件.

(B)充分非必要条件.

(C) 充分必要条件.

(D) 既非充分也非必要条件.

(7) 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 且 $P(B) = 0.5, P(A - B) = 0.3$ , 则 $P(B - A) = (\quad)$

(A)0.1.

(B)0.2.

(C)0.3.

(D)0.4.

(8) 设连续型随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 相互独立且方差均存在, $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 概率密度分别为 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ , 随机变量 $Y_{1}$ 的概率密度为 $f_{Y_{1}}(y) = \frac{1}{2} [f_{1}(y) + f_{2}(y)]$ , 随机变量 $Y_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} + X_{2})$ , 则( )

(A) $E(Y_{1}) > E(Y_{2}), D(Y_{1}) > D(Y_{2})$

(B) $E(Y_{1}) = E(Y_{2}), D(Y_{1}) = D(Y_{2})$

(C) $E(Y_{1}) = E(Y_{2}), D(Y_{1}) < D(Y_{2})$

$\left(\mathrm{D}\right) E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)>D\left(Y_{2}\right)$ .

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9)曲面 $z = x^{2}(1 - \sin y) + y^{2}(1 - \sin x)$ 在点(1,0,1)处的切平面方程为  
(10) 设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数, 且 $f'(x) = 2(x - 1), x \in [0, 2]$ , 则 $f(7) =$ ________.  
(11) 微分方程 $xy' + y(\ln x - \ln y) = 0$ 满足条件 $y(1) = \mathrm{e}^3$ 的解为 $y =$   
(12) 设 $L$ 是柱面 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与平面 $y + z = 0$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向, 则曲线积分 $\oint_{L} z \mathrm{~d} x + y \mathrm{~d} z = \underline{\quad}$ .  
(13) 设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2ax_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3}$ 的负惯性指数为 1, 则 $a$ 的取值范围是  
(14) 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{3\theta^2}, & \theta < x < 2\theta, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$ 其中 $\theta$ 是未知参数， $X_1, X_2, \dots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $c \sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 是 $\theta^2$ 的无偏估计，则 $c =$

# 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

(15)(本题满分10分)

求极限 $\lim_{x\to +\infty}\frac{\int_1^x[t^2(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}} - 1) - t]\mathrm{d}t}{x^2\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}.$

(16)(本题满分 10 分)

设函数 $y = f(x)$ 由方程 $y^{3} + xy^{2} + x^{2}y + 6 = 0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值.

(17)(本题满分10分)

设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数， $z = f(\mathrm{e}^{x}\cos y)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (4z + \mathrm{e}^x\cos y)\mathrm{e}^{2x}$ . 若 $f(0) = 0$ ， $f'(0) = 0$ ，求 $f(u)$ 的表达式.

(18)(本题满分10分)

设 $\Sigma$ 为曲面 $z = x^{2} + y^{2}(z\leqslant 1)$ 的上侧，计算曲面积分

$$
I = \iint_ {\Sigma} (x - 1) ^ {3} \mathrm {d} y \mathrm {d} z + (y - 1) ^ {3} \mathrm {d} z \mathrm {d} x + (z - 1) \mathrm {d} x \mathrm {d} y.
$$

(19)(本题满分10分)

设数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ 满足 $0 < a_{n} < \frac{\pi}{2}, 0 < b_{n} < \frac{\pi}{2}, \cos a_{n} - a_{n} = \cos b_{n}$ , 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛.

(I) 证明 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ;  
（Ⅱ）证明级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}$ 收敛.

(20)(本题满分11分)

设 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3 \end{pmatrix}, \mathbf{E}$ 为3阶单位矩阵.

(I) 求方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系；  
(II) 求满足 $AB = E$ 的所有矩阵 $\mathbf{B}$ .

(21) (本题满分 11 分)

证明 $n$ 阶矩阵 $\left( \begin{array}{cccc}1 & 1 & \dots & 1\\ 1 & 1 & \dots & 1\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{array} \right)$ 与 $\left( \begin{array}{cccc}0 & \dots & 0 & 1\\ 0 & \dots & 0 & 2\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & n \end{array} \right)$ 相似.

(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X = 1\} = P\{X = 2\} = \frac{1}{2}$ . 在给定 $X = i$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0,i) (i = 1,2)$ .

(I)求 $Y$ 的分布函数 $F_{Y}(y)$   
(II) 求 $E(Y)$ .

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x;\theta) = \left\{ \begin{array}{ll}1 - \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x\geqslant 0,\\ 0, & x <   0, \end{array} \right.$ 其中 $\theta$ 是未知参数且大于零. $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.

(I) 求 $E(X)$ 与 $E(X^2)$ ;  
（Ⅱ）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta}_n$   
(III) 是否存在实数 $a$ , 使得对任何 $\varepsilon > 0$ , 都有 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\widehat{\theta}_{n}\right| \geqslant \varepsilon\right\} = 0$ ?