# 2015年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数 $f(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续，其 2 阶导函数 $f''(x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $y = f(x)$ 的拐点个数为（）

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

(2) 设 $y = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + \left(x - \frac{1}{3}\right)\mathrm{e}^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y'' + ay' + by = ce^x$ 的一个特解，则（ ）

![](images/c6f9e3106314deb729f84ebf17c829522532fccf52a6901247924bbc5c8e8f43.jpg)

(A) $a = -3, b = 2, c = -1$ .

(B) $a = 3, b = 2, c = -1$ .

(C) $a = -3, b = 2, c = 1$ .

(D) $a = 3, b = 2, c = 1$ .

(3) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛, 则 $x = \sqrt{3}$ 与 $x = 3$ 依次为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - 1)^n$ 的( )

(A)收敛点, 收敛点.

(B)收敛点，发散点

(C) 发散点, 收敛点.

(D) 发散点, 发散点.

(4) 设 $D$ 是第一象限中的曲线 $2xy = 1, 4xy = 1$ 与直线 $y = x, y = \sqrt{3}x$ 围成的平面区域, 函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续, 则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = (\quad)$

(A) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{2\sin 2\theta}}^{\frac{1}{\sin 2\theta}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta)r\mathrm{d}r.$

(B) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d}r.$

( C) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{2\sin 2\theta}}^{\frac{1}{\sin 2\theta}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta)\mathrm{d}r.$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d}r.$

(5) 设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ d \\ d^2 \end{pmatrix}$ . 若集合 $\Omega = \{1, 2\}$ ，则线性方程组 $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为（ ）

(A) $a \notin \Omega, d \notin \Omega$ .

(B) $a \notin \Omega, d \in \Omega$ .

(C) $a\in \Omega ,d\notin \Omega$

(D) $a\in \Omega ,d\in \Omega$

(6) 设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $\mathbf{x} = \mathbf{P}\mathbf{y}$ 下的标准形为 $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，其中 $\mathbf{P} = (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3})$ 。若 $Q = (e_{1}, -e_{3}, e_{2})$ ，则 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $\mathbf{x} = Q\mathbf{y}$ 下的标准形为（ ）

(A) $2y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$ .

(B) $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ .

(C) $2y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ .

(D) $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$ .

(7)若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则( )

$(\mathrm{A})P(AB)\leqslant P(A)P(B).$

(B) $P(AB) \geqslant P(A)P(B)$ .

(C) $P(AB) \leqslant \frac{P(A) + P(B)}{2}$ .

(D) $P(AB) \geqslant \frac{P(A) + P(B)}{2}$ .

(8) 设随机变量 $X, Y$ 不相关，且 $E(X) = 2, E(Y) = 1, D(X) = 3$ ，则 $E[X(X + Y - 2)] = (\quad)$

(A) -3.

(B)3.

(C)-5.

(D)5.

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \underline{\quad}$ .   
(10) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1 + \cos x} + |x|\right)\mathrm{d}x = \underline{\quad}$ .

(11) 若函数 $z = z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^z + xyz + x + \cos x = 2$ 确定，则 $\left. \mathrm{d}z \right|_{(0,1)} =$ ________.  
(12) 设 $\Omega$ 是由平面 $x + y + z = 1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域, 则 $\iiint_{\Omega} (x + 2y + 3z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =$

(13) $n$ 阶行列式 $\left| \begin{array}{ccccc}2 & 0 & \dots & 0 & 2\\ -1 & 2 & \dots & 0 & 2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 2 & 2\\ 0 & 0 & \dots & -1 & 2 \end{array} \right| = \underline{\quad}$   
(14) 设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1, 0; 1, 1; 0)$ , 则 $P\{XY - Y < 0\} =$ ______.

# 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(15)(本题满分10分)

设函数 $f(x) = x + a\ln (1 + x) + bx\sin x, g(x) = kx^3.$ 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \to 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 值.

(16)(本题满分 10 分)

设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零. 若对任意的 $x_0 \in I$ , 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线与直线 $x = x_0$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 , 且 $f(0) = 2$ , 求 $f(x)$ 的表达式.

(17)(本题满分 10 分)

已知函数 $f(x, y) = x + y + xy$ ，曲线 $C: x^2 + y^2 + xy = 3$ ，求 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数.

(18)(本题满分10分)

(I) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导, 利用导数定义证明 $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ ; (II) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)$ 可导, $f(x) = u_1(x)u_2(x)\dots u_n(x)$ , 写出 $f(x)$ 的求导公式.

(19)(本题满分10分)

已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{ \begin{array}{l} z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}, \\ z = x, \end{array} \right.$ 起点为 $A(0, \sqrt{2}, 0)$ , 终点为 $B(0, -\sqrt{2}, 0)$ , 计算曲线积分 $I = \int_{L} (y + z) \mathrm{d}x + (z^2 - x^2 + y) \mathrm{d}y + x^2 y^2 \mathrm{d}z$ .

(20)(本题满分11分)

设向量组 $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基， $\pmb {\beta}_1 = 2\pmb {\alpha}_1 + 2k\pmb {\alpha}_3$ ， $\pmb {\beta}_2 = 2\pmb {\alpha}_2$ ， $\pmb {\beta}_3 = \pmb {\alpha}_1 + (k + 1)\pmb {\alpha}_3$

(I) 证明向量组 $\pmb{\beta}_{1}, \pmb{\beta}_{2}, \pmb{\beta}_{3}$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基；  
（Ⅱ）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\pmb{\xi}$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 与基 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 下的坐标相同，并求所有的 $\pmb{\xi}$

(21) (本题满分 11 分)

设矩阵 $\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr}0 & 2 & -3\\ -1 & 3 & -3\\ 1 & -2 & a \end{array} \right)$ 相似于矩阵 $\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr}1 & -2 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right).$

(I)求 $a, b$ 的值；  
（Ⅱ）求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵

(22)(本题满分11分)

设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$
f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 ^ {- x} \ln 2, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{array} \right.
$$

对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数

(I)求 $Y$ 的概率分布；  
(II) 求 $E(Y)$ .

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率密度为

$$
f (x; \theta) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{1 - \theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right.
$$

其中 $\theta$ 为未知参数. $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本

(I)求 $\theta$ 的矩估计量；  
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.