# 2016年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 若反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^a (1 + x)^b} \mathrm{d}x$ 收敛, 则( )

(A) $a < 1$ 且 $b > 1$ .

(B) $a > 1$ 且 $b > 1$ .

(C) $a < 1$ 且 $a + b > 1$ .

(D) $a > 1$ 且 $a + b > 1$ .

(2)已知函数 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2(x - 1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1, \end{array} \right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是（

$\left(\mathrm{A}\right)F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x-1\right)^{2},&x< 1,\\ x(\ln x-1),&x\geqslant 1.\end{array}\right.$

$\left(\mathrm{B}\right)F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x-1\right)^{2},&x< 1,\\ x(\ln x+1)-1,&x\geqslant 1.\end{array}\right.$

$\left(\mathrm{C}\right)F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x-1\right)^{2},&x< 1,\\ x\left(\ln x+1\right)+1,&x\geqslant 1.\end{array}\right.$

$\left(\mathrm{D}\right)F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x-1\right)^{2},&x< 1,\\ x(\ln x-1)+1,&x\geqslant 1.\end{array}\right.$

(3) 若 $y = (1 + x^{2})^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}$ , $y = (1 + x^{2})^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}$ 是微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$ 的两个解, 则 $q(x) = (\quad)$

(A) $3x(1 + x^{2})$

(B) $-3x(1 + x^{2})$

(C) $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

(D) $-\frac{x}{1 + x^2}$ .

(4)已知函数 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}x, & x\leqslant 0,\\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n + 1} <  x\leqslant \frac{1}{n},n = 1,2,\dots , \end{array} \right.$ 则（

(A) $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点.

(B) $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点.

(C) $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导.

(D) $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导.

(5) 设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是（）

(A) $A^{\mathrm{T}}$ 与 $\pmb{B}^{\mathrm{T}}$ 相似.

(B) $A^{-1}$ 与 $\pmb{B}^{-1}$ 相似

(C) $A + A^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B} + \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似.

$(\mathrm{D})\pmb {A} + \pmb{A}^{-1}$ 与 $\pmb {B} + \pmb{B}^{-1}$ 相似

(6) 设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3}$ ，则 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）

(A)单叶双曲面.

(B) 双叶双曲面.

(C) 椭球面.

(D) 柱面.

(7) 设随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2) (\sigma > 0)$ , 记 $p = P\{X \leqslant \mu + \sigma^2\}$ , 则( )

(A) $p$ 随着 $\mu$ 的增加而增加.

(B) $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加.

(C) $p$ 随着 $\mu$ 的增加而减少.

(D) $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少.

(8)随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ , 且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$ , 将试验 $E$ 独立重复做 2 次, $X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数, $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 ( )

(A) $-\frac{1}{2}$ .

(B) $-\frac{1}{3}$ .

(C) $\frac{1}{3}$ .

(D) $\frac{1}{2}$ .

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9) $\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}t\ln(1 + t\sin t)\mathrm{d}t}{1 - \cos x^2} = \underline{\quad}$   
(10) 向量场 $A(x, y, z) = (x + y + z)\pmb{i} + xy\pmb{j} + z\pmb{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} A =$ ______.  
(11) 设函数 $f(u, v)$ 可微， $z = z(x, y)$ 由方程 $(x + 1)z - y^2 = x^2f(x - z, y)$ 确定，则 $\mathrm{d}z|_{(0,1)} =$ ______.  
(12) 设函数 $f(x) = \arctan x - \frac{x}{1 + ax^2}$ ，且 $f'''(0) = 1$ ，则 $a =$ ______.

(13)行列式 $\left| \begin{array}{cccc} \lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda + 1 \end{array} \right| = \_$ .  
(14) 设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自总体 $N(\mu, \sigma^{2})$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{X} = 9.5$ ，参数 $\mu$ 的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则 $\mu$ 的置信度为0.95的双侧置信区间为

# 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

(15)(本题满分10分)

已知平面区域 $D = \left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1 + \cos \theta), -\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ , 计算二重积分 $\iint_{D} x \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ .

(16)(本题满分 10 分)

设函数 $y(x)$ 满足方程 $y'' + 2y' + ky = 0$ ，其中 $0 < k < 1$ .

(I) 证明: 反常积分 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d}x$ 收敛;  
(II) 若 $y(0) = 1, y'(0) = 1$ ，求 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d}x$ 的值.

(17)(本题满分10分)

设函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = (2x + 1)\mathrm{e}^{2x - y}$ , 且 $f(0,y) = y + 1, L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1,t)$ 的光滑曲线. 计算曲线积分 $I(t) = \int_{L_t} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \mathrm{d}y$ , 并求 $I(t)$ 的最小值.

(18)(本题满分10分)

设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2x + y + 2z = 2$ 与三个坐标平面围成， $\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} (x^2 + 1) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - 2y \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + 3z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y.$

(19)(本题满分10分)

已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0) = 1, 0 < f'(x) < \frac{1}{2}$ . 设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n+1} = f(x_{n}) (n = 1, 2, \dots)$ . 证明：

(I) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收敛;  
(II) $\lim_{n\to \infty}x_n$ 存在，且 $0 < \lim_{n\to \infty}x_n < 2.$

(20)(本题满分11分)

设矩阵 $A = \left( \begin{array}{rrr}1 & -1 & -1\\ 2 & a & 1\\ -1 & 1 & a \end{array} \right),B = \left( \begin{array}{rr}2 & 2\\ 1 & a\\ -a - 1 & -2 \end{array} \right)$ 当 $a$ 为何值时，方程 $AX = B$ 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程

(21) (本题满分 11 分)

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

(I)求 $A^{99}$   
（Ⅱ）设3阶矩阵 $\pmb {B} = (\pmb {\alpha}_1,\pmb {\alpha}_2,\pmb {\alpha}_3)$ 满足 $B^{2} = BA$ 记 $B^{100} = (\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})$ ，将 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 分别表示为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 的线性组合.

(22) (本题满分 11 分)

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D = \{(x,y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\}$ 上服从均匀分布，令 $U = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & X \leqslant Y, \\ 0, & X > Y. \end{array} \right.$

(I) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度;  
（Ⅱ）问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由；  
（Ⅲ）求 $Z = U + X$ 的分布函数 $F(z)$

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text{其他}, \end{array} \right.$ 其中 $\theta \in (0, +\infty)$ 为未知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T = \max \{X_1, X_2, X_3\}$ .

(I)求 $T$ 的概率密度；  
（Ⅱ）确定 $a$ ，使得 $aT$ 为 $\theta$ 的无偏估计