# 2018年全国硕士研究生招生考试试题

# 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 下列函数中, 在 $x = 0$ 处不可导的是( )

(A) $f(x) = |x| \sin |x|$ .

(B) $f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$ .

(C) $f(x) = \cos |x|$ .

(D) $f(x) = \cos{\sqrt{|x|}}.$

(2) 过点 $(1,0,0), (0,1,0)$ , 且与曲面 $z = x^2 + y^2$ 相切的平面为( )

(A) $z = 0$ 与 $x + y - z = 1$ .

(B) $z = 0$ 与 $2x + 2y - z = 2$ .

(C) $x = y$ 与 $x + y - z = 1$ .

(D) $x = y$ 与 $2x + 2y - z = 2.$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+3}{(2n+1)!}=$

(A) $\sin 1 + \cos 1$

(B) $2\sin 1 + \cos 1$

(C) $2 \sin 1 + 2 \cos 1$ .

(D) $2 \sin 1 + 3 \cos 1$ .

(4) 设 $M = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + x)^2}{1 + x^2} \mathrm{d}x, N = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{d}x, K = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sqrt{\cos x}) \mathrm{d}x$ , 则( )

(A) $M > N > K.$

(B) $M > K > N.$

(C) $K > M > N.$

(D) $K > N > M.$

(5) 下列矩阵中, 与矩阵 $\left( \begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ 相似的为( )

(A) $\left( \begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(B) $\left( \begin{array}{rrr}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(C) $\left( \begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(D) $\left( \begin{array}{rrr}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ .

(6) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, 记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩, $(X, Y)$ 表示分块矩阵, 则( )

(A) $r(\mathbf{A}, \mathbf{AB}) = r(\mathbf{A})$ .

(B) $r(\mathbf{A}, \mathbf{B}\mathbf{A}) = r(\mathbf{A})$ .

(C) $r(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \max \{r(\mathbf{A}), r(\mathbf{B})\}$ .

$(\mathrm{D})r(\mathbf{A},\mathbf{B}) = r(\mathbf{A}^{\mathrm{T}},\mathbf{B}^{\mathrm{T}}).$

(7) 设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1 + x) = f(1 - x)$ , 且 $\int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x = 0.6$ , 则 $P\{X < 0\} =$ ( )

(A)0.2.

(B)0.3.

(C)0.4.

(D)0.5.

(8) 设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ . $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 据此样本检验假设: $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ , 则( )

(A) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下拒绝 $H_{0}$ , 那么 $\alpha = 0.01$ 下必拒绝 $H_{0}$ .  
(B) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下拒绝 $H_{0}$ , 那么 $\alpha = 0.01$ 下必接受 $H_{0}$ .  
(C) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下接受 $H_{0}$ , 那么 $\alpha = 0.01$ 下必拒绝 $H_{0}$ .  
(D) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下接受 $H_{0}$ , 那么 $\alpha = 0.01$ 下必接受 $H_{0}$ .

# 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9) 若 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right)^{\frac{1}{\sin kx}} = e$ ，则 $k = \_$   
(10) 设函数 $f(x)$ 具有 2 阶连续导数. 若曲线 $y = f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y = 2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相切, 则 $\int_{0}^{1} x f''(x) \mathrm{d}x =$ ________.  
(11) 设 $F(x, y, z) = xy \mathbf{i} - yz \mathbf{j} + zx \mathbf{k}$ , 则 $\operatorname{rot} F(1, 1, 0) =$ ______.   
(12) 设 $L$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 与平面 $x + y + z = 0$ 的交线, 则 $\oint_{L} xy \, \mathrm{d}s =$ ______.  
(13) 设 2 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 有两个不同特征值, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $\mathbf{A}$ 的线性无关的特征向量, 且满足 $A^{2}(\alpha_{1} + \alpha_{2}) = \alpha_{1} + \alpha_{2}$ , 则 $|\mathbf{A}| =$ ______.  
(14) 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, $A$ 与 $C$ 相互独立, $BC = \varnothing$ . 若 $P(A) = P(B) = \frac{1}{2}, P(AC \mid AB \cup C) = \frac{1}{4}$ , 则 $P(C) = \_$ .

# 三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15) (本题满分 10 分)

求不定积分 $\int \mathrm{e}^{2x}\arctan{\sqrt{\mathrm{e}^x - 1}}\mathrm{d}x.$

(16) (本题满分 10 分)

将长为 $2 \mathrm{~m}$ 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值? 若存在, 求出最小值.

(17) (本题满分 10 分)

设 $\Sigma$ 是曲面 $x = \sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}$ 的前侧，计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (y^3 + 2) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + z^3 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y.$

(18) (本题满分 10 分)

已知微分方程 $y' + y = f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数

（I）若 $f(x) = x$ ，求方程的通解；  
（Ⅱ）若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解

(19) (本题满分 10 分)

设数列 $\{x_{n}\}$ 满足： $x_{1} > 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n + 1}} = \mathrm{e}^{x_{n}} - 1 (n = 1,2,\dots)$ . 证明数列 $\{x_{n}\}$ 收敛，并求 $\lim_{n\to \infty}x_n$

(20) (本题满分 11 分)

设实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{1} - x_{2} + x_{3})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} + (x_{1} + ax_{3})^{2}$ ，其中 $a$ 是参数.

(I) 求 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ 的解；  
（Ⅱ）求 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ 的规范形

(21) (本题满分 11 分)

已知 $a$ 是常数，且矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a \end{pmatrix}$ 可经初等列变换化为矩阵 $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

(I) 求 $a$ ;   
（Ⅱ）求满足 $AP = B$ 的可逆矩阵 $\pmb{P}$

(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X = 1\} = P\{X = -1\} = \frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布. 令 $Z = XY$ .

(I) 求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ;   
（Ⅱ）求 $Z$ 的概率分布

(23) (本题满分 11 分)

设总体 $X$ 的概率密度为

$$
f (x; \sigma) = \frac {1}{2 \sigma} \mathrm {e} ^ {- \frac {| x |}{\sigma}}, - \infty <   x <   + \infty ,
$$

其中 $\sigma \in (0, +\infty)$ 为未知参数， $X_1, X_2, \dots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$ 。

(I) 求 $\hat{\sigma}$ ;   
（Ⅱ）求 $E(\hat{\sigma}),D(\hat{\sigma})$