# 2020年全国硕士研究生招生考试

# 数学（一）

（科目代码：301）

# 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)

（1）当 $x\to 0^{+}$ 时，下列无穷小量中最高阶的是（

(A) $\int_{0}^{x} (\mathrm{e}^{t^2} - 1) \, \mathrm{d}t$

(B) $\int_{0}^{x}\ln (1 + \sqrt{t^3})\mathrm{d}t$

(C) $\int_{0}^{\sin x}\sin t^{2}\mathrm{d}t$

(D) $\int_{0}^{1 - \cos x}\sqrt{\sin^3t}\mathrm{d}t$

（2）设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1, 1)$ 内有定义，且 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ ，则（ ）.

（A）当 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} = 0$ 时， $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导  
（B）当 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} = 0$ 时， $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导  
（C）当 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导时， $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} = 0$   
（D）当 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导时， $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} = 0$

（3）设函数 $f(x,y)$ 在点(0，0）处可微， $f(0,0) = 0,n = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, - 1\right)\bigg|_{(0,0)}$ 非零向量 $\pmb{\alpha}$ 与 $\pmb{n}$ 垂直，则（ ）.

(A) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|n\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在  
(B) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|n\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在  
(C) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|\pmb{\alpha}\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在  
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|\pmb{\alpha}\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在

4）设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径， $r$ 是实数，则（ ）.

（A）当 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n}r^{2n}$ 发散时， $|r|\geqslant R$

(B) 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$ 收敛时, $|r| \leqslant R$

(C) 当 $|r| \geqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$ 发散

(D) 当 $|r| \leqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$ 收敛

5）若矩阵 $\mathbf{A}$ 经过初等列变换化成 $\pmb{B}$ ，则（ ）.

（A）存在矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $PA = B$   
（B）存在矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $BP = A$   
（C）存在矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $PB = A$   
(D) 方程组 $AX = 0$ 与 $BX = 0$ 同解

6）已知直线 $L_{1}:\frac{x - a_{2}}{a_{1}} = \frac{y - b_{2}}{b_{1}} = \frac{z - c_{2}}{c_{1}}$ 与直线 $L_{2}:\frac{x - a_{3}}{a_{2}} = \frac{y - b_{3}}{b_{2}} = \frac{z - c_{3}}{c_{2}}$ 相交于一点，记向量 $\pmb{\alpha}_{i} = \begin{pmatrix} a_{i}\\ b_{i}\\ c_{i} \end{pmatrix} ,i = 1,2,3$ ，则（ ）.

(A) $\pmb{\alpha}_{1}$ 可由 $\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$ 线性表示

(B) $\pmb{\alpha}_{2}$ 可由 $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{3}$ 线性表示

(C) $\alpha_{3}$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表示

(D) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关

7）设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}, P(AB) = 0,$ $P(AC) = P(BC) = \frac{1}{12}$ ，则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为（ ）.

(A) $\frac{3}{4}$

(B) $\frac{2}{3}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{5}{12}$

8）设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中 $P\{X = 0\} = P\{X = 1\} = \frac{1}{2}, \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得 $P\{\sum_{i=1}^{100} X_{i} \leqslant 55\}$ 的近似值为（ ）.

(A) $1 - \Phi (1)$

(B) $\Phi (1)$

(C) $1 - \Phi (0,2)$

(D) $\Phi(0.2)$

# 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.）

9) $\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}^x - 1} -\frac{1}{\ln(1 + x)}\right] = \underline{\quad}$

10）设 $\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt{t^2 + 1},\\ y = \ln (t + \sqrt{t^2 + 1}), \end{array} \right.$ 则 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\bigg|_{t = 1} = .$

11）设函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x) + af^{\prime}(x) + f(x) = 0(a > 0)$ ，且 $f(0) = m, f^{\prime}(0) = n$ ，则 $\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \underline{\quad}$

12）设函数 $f(x,y) = \int_0^{xy}\mathrm{e}^{xt^2}\mathrm{d}t$ ，则 $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\bigg|_{(1,1)} = \underline{\quad}$

（13）行列式 $\left| \begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1\\ 0 & a & 1 & -1\\ -1 & 1 & a & 0\\ 1 & -1 & 0 & a \end{array} \right| = \underline{\quad}$

（14）设 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布， $Y = \sin X$ ，则 $\operatorname{Cov}(X, Y) =$ ______.

# 三、解答题（15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

求函数 $f(x,y) = x^{3} + 8y^{3} - xy$ 的极值.

（16）（本题满分10分）

计算曲线积分 $I = \int_{L} \frac{4x - y}{4x^2 + y^2} \mathrm{d}x + \frac{x + y}{4x^2 + y^2} \mathrm{d}y$ ，其中 $L$ 是 $x^2 + y^2 = 2$ ，方向为逆时针方向。

（17）（本题满分10分）

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_1 = 1,(n + 1)a_{n + 1} = \left(n + \frac{1}{2}\right)a_n$ ，证明：当 $|x| < 1$ 时，幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$ 收敛，并求其和函数.

（18）（本题满分10分）

设 $\Sigma$ 为曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ （ $1 \leqslant x^2 + y^2 \leqslant 4$ ）的下侧， $f(x)$ 是连续函数，计算

$$
I = \iint_ {\Sigma} [ x f (x y) + 2 x - y ] d y d z + [ y f (x y) + 2 y + x ] d z d x + [ z f (x y) + z ] d x d y.
$$

（19）（本题满分10分）

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数， $f(0) = f(2) = 0, M = \max_{x\in [0,2]}\{|f(x)|\}$ ，证明：

（I）存在 $\xi \in (0,2)$ ，使得 $|f'(\xi)| \geqslant M$ ；  
（Ⅱ）若对任意的 $x\in (0,2),|f'(x)|\leqslant M$ ，则 $M = 0$

（20）（本题满分11分）

设二次型 $f(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}$ 经正交变换 $\binom{x_1}{x_2}=\mathbf{Q}\binom{y_1}{y_2}$ 化为二次型 $g(y_{1},y_{2}) = ay_{1}^{2} + 4y_{1}y_{2} + by_{2}^{2}$ ，其中 $a\geqslant b$

（I）求 $a, b$ 的值；  
（Ⅱ）求正交矩阵 $Q$

（21）（本题满分11分）

设 $A$ 为2阶矩阵， $P = (\alpha ,A\alpha)$ ，其中 $\pmb{\alpha}$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量

（I）证明 $P$ 为可逆矩阵；  
（Ⅱ）若 $A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$ ，求 $P^{-1}AP$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.

（22）（本题满分11分）

设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 相互独立，其中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 均服从标准正态分布， $X_{3}$ 的概率分布为 $P\{X_{3} = 0\} = P\{X_{3} = 1\} = \frac{1}{2}.$ $Y = X_{3}X_{1} + (1 - X_{3})X_{2}.$

（I）求二维随机变量 $(X_{1},Y)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $\Phi (x)$ 表示；  
（Ⅱ）证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布，

（23）（本题满分11分）

设某元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为

$$
F (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \mathrm {e} ^ {- \left(\frac {t}{\theta}\right) ^ {m}}, t \geqslant 0, \\ 0, & \text {其 他}, \end{array} \right.
$$

其中 $\theta ,m$ 为参数且大于零

（I）求概率 $P\{T > t\}$ 与 $P\{T > s + t \mid T > s\}$ ，其中 $s > 0, t > 0$ ；  
（Ⅱ）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \dots, t_n$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$