# 2021年全国硕士研究生招生考试

# 数学 (一)

（科目代码：301）

# 一、选择题(1～10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)

（1）函数 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\mathrm{e}^x - 1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0 \end{array} \right.$ 在 $x = 0$ 处（ ）.

（A）连续且取得极大值

（B）连续且取得极小值

（C）可导且导数等于零

（D）可导且导数不为零

（2）设函数 $f(x,y)$ 可微，且 $f(x + 1,\mathrm{e}^x) = x(x + 1)^2,f(x,x^2) = 2x^2\ln x$ ，则 $\mathrm{df}(1,1) = ()$

(A) $\mathrm{dx} + \mathrm{dy}$

(B) $\mathrm{d}x - \mathrm{d}y$

(C)dy

(D) $-\mathrm{dy}$

（3）设函数 $f(x) = \frac{\sin x}{1 + x^2}$ 在 $x = 0$ 处的3次泰勒多项式为 $ax + bx^2 + cx^3$ ，则（ ）.

(A) $a = 1, b = 0, c = -\frac{7}{6}$

$(\mathrm{B})a = 1,b = 0,c = \frac{7}{6}$

(C) $a = -1, b = -1, c = -\frac{7}{6}$

$(\mathrm{D})a = -1,b = -1,c = \frac{7}{6}$

（4）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x = (\quad)$

(A) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f\left(\frac{2k - 1}{2n}\right)\frac{1}{2n}$

(B) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f\left(\frac{2k - 1}{2n}\right)\frac{1}{n}$

(C) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{2n}f\left(\frac{k - 1}{2n}\right)\frac{1}{n}$

(D) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{2n}f\left(\frac{k}{2n}\right)\frac{2}{n}$

（5）设二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）.

(A)2,0

(B)1,1

(C)2,1

(D)1,2

（6）已知 $\pmb{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \pmb{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \pmb{\beta}_{1} = \pmb{\alpha}_{1}, \pmb{\beta}_{2} = \pmb{\alpha}_{2} - k\pmb{\beta}_{1}, \pmb{\beta}_{3} = \pmb{\alpha}_{3} - l_{1}\pmb{\beta}_{1} - l_{2}\pmb{\beta}_{2}$ ，若 $\pmb{\beta}_{1}, \pmb{\beta}_{2}, \pmb{\beta}_{3}$ 两两相交，则 $l_{1}, l_{2}$ 依次为（ ）.

(A) $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$

(B) $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$

(C) $\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}$

(D) $-\frac{5}{2}, - \frac{1}{2}$

7）设 $A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）.

(A) $r\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{O}\\ \mathbf{O} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A} \end{pmatrix} = 2r(\mathbf{A})$

(B) $r\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{AB}\\ \mathbf{O} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} = 2r(\mathbf{A})$

(C) $r\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B}\mathbf{A}\\ \mathbf{O} & \mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} = 2r(\mathbf{A})$

(D) $r\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{O}\\ \mathbf{B}\mathbf{A} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} = 2r(\mathbf{A})$

8）设 $A,B$ 为随机事件，且 $0 <   P(B) <   1$ ，下列命题中为假命题的是（ ）.

(A) 若 $P(A \mid B) = P(A)$ ，则 $P(A \mid \overline{B}) = P(A)$   
(B) 若 $P(A \mid B) > P(A)$ , 则 $P(\overline{A} \mid \overline{B}) > P(\overline{A})$   
(C) 若 $P(A \mid B) > P(A \mid \overline{B})$ ，则 $P(A \mid B) > P(A)$   
(D) 若 $P(A \mid A \cup B) > P(\overline{A} \mid A \cup B)$ , 则 $P(A) > P(B)$ .

9）设 $(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),\dots ,(X_{n},Y_{n})$ 为来自总体 $N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ 的简单随机样本，

令 $\theta = \mu_1 - \mu_2, \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i, \overline{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i, \hat{\theta} = \overline{X} - \overline{Y}$ , 则（ ）.

(A) $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计， $D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{n}$   
(B) $\hat{\theta}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计， $D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{n}$   
(C) $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计， $D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}$   
(D) $\hat{\theta}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计， $D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}$

10）设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{16}$ 是来自总体 $N(\mu, 4)$ 的简单随机样本，考虑假设检验问题： $H_{0}:\mu \leqslant 10$ ， $H_{1}:\mu > 10, \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 $W = \{\overline{X} \geqslant 11\}$ ，其中 $\overline{X} = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} X_{i}$ ，则 $\mu = 11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）.

(A) $1 - \Phi (0.5)$

(B) $1 - \Phi (1)$

(C) $1 - \Phi (1.5)$

(D) $1 - \Phi (2)$

二、填空题（11～16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.）

11) $\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 2x + 2} = \_$

(2) 设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 $\left\{ \begin{array}{l} x = 2\mathrm{e}^t + t + 1, \\ y = 4(t - 1)\mathrm{e}^t + t^2 \end{array} \right.$ 所确定，则 $\left. \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \right|_{t=0} =$

(3) 欧拉方程 $x^{2}y^{\prime \prime} + xy^{\prime} - 4y = 0$ 满足条件 $y(1) = 1, y^{\prime}(1) = 2$ 的解为 $y =$

4）设 $\Sigma$ 为空间区域 $\{(x,y,z) \mid x^2 + 4y^2 \leqslant 4, 0 \leqslant z \leqslant 2\}$ 表面的外侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma} x^2 \mathrm{d}y \mathrm{d}z + y^2 \mathrm{d}z \mathrm{d}x + z \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \underline{\quad}$ .

5）设 $\mathbf{A} = (a_{ij})$ 为3阶矩阵， $A_{ij}$ 为代数余子式，若 $\mathbf{A}$ 的每行元素之和均为2，且 $|\mathbf{A}| = 3$ 则 $A_{11} + A_{21} + A_{31} = \_$

(16) 甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球, 先从甲盒中任取一球, 观察颜色后放入乙盒中, 再从乙盒中任取一球, 令 $X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数, 则 $X$ 与 $Y$

的相关系数为

# 三、解答题（17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（17）（本题满分10分）

求极限 $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t}{\mathrm{e}^x - 1} -\frac{1}{\sin x}\right).$

（18）（本题满分12分）

设 $u_{n}(x) = \mathrm{e}^{-nx} + \frac{x^{n + 1}}{n(n + 1)} (n = 1,2,\dots)$ ，求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n(x)$ 的收敛域及和函数.

（19）（本题满分12分）

已知曲线 $C: \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 2y^2 - z = 6, \\ 4x + 2y + z = 30, \end{array} \right.$ 求 $C$ 上的点到 $xOy$ 坐标面距离的最大值.

（20）（本题满分12分）

设 $D \subset \mathbf{R}^2$ 是有界单连通闭区域， $I(D) = \iint_{D} (4 - x^2 - y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ 取得最大值的积分区域为 $D_1$ .

（I）求 $I(D_{1})$ 的值；  
（Ⅱ）计算 $\int_{\partial D_1} \frac{(x \mathrm{e}^{x^2 + 4y^2} + y) \mathrm{d}x + (4y \mathrm{e}^{x^2 + 4y^2} - x) \mathrm{d}y}{x^2 + 4y^2}$ ，其中 $\partial D_1$ 是 $D_1$ 的正向边界.

（21）（本题满分12分）

已知 $\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr}a & 1 & -1\\ 1 & a & -1\\ -1 & -1 & a \end{array} \right).$

（I）求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{\mathrm{T}}AP$ 为对角矩阵；  
（Ⅱ）求正定矩阵 $\pmb{C}$ ，使得 $C^2 = (a + 3)\pmb {E} - \pmb {A}$

（22）（本题满分12分）

在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 $X$ ，较长一段的长度为 $Y$ ，令 $Z = \frac{Y}{X}$

（I）求 $X$ 的概率密度；  
（Ⅱ）求 $Z$ 的概率密度；  
（Ⅲ）求 $E\left(\frac{X}{Y}\right)$