# 2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题

# -,�:ll� ( *�:it 10 ,J,�, �,J,� 5 :St, :it 50 :St. =A:�1J,��lli a{] lm1'"�:Igicp, R �-:Igir4,g.� § � * , m.PJr� :IgifiJ a{] *-m::t,l=A:� Ja a{] m� P-J. i

(1)设 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { f ( x ) } { \ln x } } = 1$ ，则 ） Z

(B x→1

( D

( 2) i!l. $f ( u )$ nJ � , $, z = x y f \left( { \frac { y } { x } } \right)$ , ;ff $x { \frac { \partial z } { \partial x } } + y { \frac { \partial z } { \partial y } } = y ^ { 2 } ( \ln y - \ln x )$ + y J!U ( )

$\left\{ x _ { n } \right\}$ tWJE $- { \frac { \pi } { 2 } } \leqslant x _ { n } \leqslant { \frac { \pi } { 2 } }$

(A) ;ff $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \cos ( \sin x _ { n } )$ Htf,JJ!tl $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ Hi£.   
( B) ;ff $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sin ( \cos x _ { n } )$ Hi£ ,JJ!U $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ Hi£.   
( C) ;fflim cos( sin $x _ { n }$ HtE,JJ!Ulim sin $x _ { n }$ HtE,f!=l $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ �-JEHtE. n......-+00 n-oc   
( D) ;ff $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sin ( \cos x _ { n } )$ Htf ,JJ!U $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \cos x _ { n }$ $x _ { n }$ Hi£, f!=l $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ �-JEHtf.

-+.>- l' x ( 4) -;('; /1 = 2 (1 ) O + COS X $\cdot I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x } { 2 ( 1 + \cos x ) } \mathrm { d } x , I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \ln ( 1 + x ) } { 1 + \cos x } \mathrm { d } x , I _ { 3 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 x } { 1 + \sin x } \mathrm { d } x$ 1 O + COS X l' ln (1 + x ) dx ,/ = 2x . dx, JJ!U ( ）

$( \mathbf { A } ) I _ { 1 } < I _ { 2 } < I _ { 3 } .$

$\begin{array} { r } { \left( \mathbf { B } \right) I _ { 2 } < I _ { 1 } < I _ { 3 } . } \end{array}$

$\begin{array} { r } { \left( \mathbf { C } \right) I _ { 1 } < I _ { 3 } < I _ { 2 } . } \end{array}$

$\left( \mathrm { D } \right) I _ { 3 } < I _ { 2 } < I _ { 1 } .$

(5) r3itl 41'"�f4i:r ,3 �mli$ $\pmb { A }$ nJfflfp,txtffl1t�-1--1t:5t��&,��f4¾( >

( A)A � 3 1--�jP] a{J�filffl.   
$( \mathbf { B } ) \pmb { A }$ � 31'-tUtx*�tffilfPJ::I:.   
$( \mathbf { C } ) \pmb { A }$ � 31'-WilWil�'lix*a{JtffilfPJ::I:.   
$( \boldsymbol Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ A Ḍ Ḍ Ḍ $ � � r � F8'J tf fil ffi � �fil fPJ ::l:;i:§ 1Lil: 5':.

(6) i!l. ${ \pmb A } , { \pmb B }$ -jJ $\pmb { n }$ �mli$, $\pmb { { \cal E } }$ -jJ $\pmb { n }$ �1'ifilmli$,;ff1f�f]. $\pmb { A } \pmb { x } = \pmb { 0 }$ -SJ $\pmb { B x } \ = \ \pmb { 0 }$ F8'.lflilf,JJ!U(

(A) ${ \binom { A } { E } } \left( \begin{array} { l } { { O } } \\ { { } } \\ { { B } } \end{array} \right) y = 0$ ,R��--   
(B) $\left( \begin{array} { c c } { { \pmb { \cal E } } } & { { \pmb { A } } } \\ { { \pmb { O } } } & { { \pmb { A } \pmb { B } } } \end{array} \right) { \pmb y } = { \pmb 0 }$ ,R��--

(C） $\scriptstyle { \binom { A } { O } } \ B \ = \ 0$ 与 $\scriptstyle { \binom { B } { O } } A \displaystyle { ) } y = 0$ 同解.   
(D) $\binom { A B } { O } \quad _ { A } ^ { B } = 0$ 与 $\binom { B A } { O } \quad { \pmb { y } } = { \pmb { 0 } }$ 同解. B

(7) ia_: $\pmb { \alpha } _ { 1 } = ( \lambda , 1 , 1 ) ^ { \top } , \pmb { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , \lambda , 1 ) ^ { \top } , \pmb { \alpha } _ { 3 } = ( 1 , 1 , \lambda ) ^ { \top } , \pmb { \alpha } _ { 4 } = ( 1 , \lambda , \lambda ^ { 2 } ) ^ { \top }$ ,* ${ \pmb { \alpha } } _ { 1 } , { \pmb { \alpha } } _ { 2 } , { \pmb { \alpha } } _ { 3 }$ l§ ${ \pmb { \alpha } } _ { 1 } , { \pmb { \alpha } } _ { 2 }$ , ${ \pmb { \alpha } } _ { 4 }$ �111-,Intl $\lambda$ 1¥Ji&ffim:lll¾C )

(A)jo,11.   
(B) $\left\{ \lambda \ \middle | \ \lambda \ \in \textbf { R } , \lambda \ \neq - 2 \right\}$   
(C) $\left\{ \lambda \ \middle | \lambda \in \mathbf { R } , \lambda \neq - 1 , \lambda \neq - 2 \right\} .$   
(D) $\left\{ \lambda \ | \lambda \in \mathbf { R } , \lambda \neq - 1 \right\}$

( 8) ia:il.lf!t!IZ:lfll: $X$ ijll,b\lKl'aJ ( 0 ,3) J:1¥J:f:5]�5t1!l, il.lf!fJL�:11: $Y$ ijll,b(��j;J 2 1¥JrEJt't5t1!J ,Ji $X$ 1§ Y 1¥]tf}jJ�jg - 1,Jiltl $D ( 2 X - Y + 1 ) ^ { \cdot } = \left( \begin{array} { l l l } { \quad } & { } & { } \end{array} \right)$ )

(A)l.

(B)5.

(C)9.

(D)l2.

( 9) ia:il.lf!fJL�:11: $X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n }$ J!.lt:fr.[P)5t;fp ,li $X _ { 1 }$ l¥J 4 Wi'�l=H'=ftE , $E ( X _ { 1 } ^ { k } ) \ = \mu _ { k } ( k = 1 , 2 , 3 , 4 )$ ,Jntl�ffl tJJ tt�x��:rt . x-tffxt $\varepsilon > 0$ ,iHf $P \Big \{ \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } ^ { 2 } - \mu _ { 2 } \right| \geqslant \varepsilon \Big \} \leqslant ($ ( )

（A) ${ \frac { \mu _ { 4 } - \mu _ { 2 } ^ { 2 } } { n \varepsilon ^ { 2 } } } .$ nε²

(B） $\frac { \mu _ { 4 } - \mu _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { n } \varepsilon ^ { 2 } } .$

（c）- $\frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ^ { 2 } } { n \varepsilon ^ { 2 } } .$ nε²

(D)μ2二 $) \frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { n } \varepsilon ^ { 2 } } .$ n8²

( 10) ia:il.lf!flL�:11: $X \sim N ( 0 , 1 )$ ,*tE $X = x$ 1¥J�ftj:r, il.lf!flL�:11: $Y \sim N ( x , 1 )$ ,Jntl $X$ 1§ $Y$ 1¥Jffl:k*� -'jg ( )

1 (A) 4·

$\left( \mathbf { B } \right) { \frac { 1 } { 2 } } .$

(C）

(D)

# = . .:tl��( *�� 6 1J,� fif1J,� s �, � 30 � ,ffi��:I-A1£�i:J:IIU£...t. )

(11) rn� $f ( x , y ) ~ = ~ x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 }$ tEi�(0,1) 5tti¥1:ll*nlPJ��-'j;J   
$\int _ { 1 } ^ { \mathrm { e } ^ { 2 } } { \frac { \ln x } { \sqrt { x } } } \mathrm { d } x = - { \mathrm { ~ } } .$   
(13) � $x \geqslant 0 , y \geqslant 0$ Bt, $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant k \mathrm { e } ^ { x + y }$ •tgJi.lt:fr.,JilU $k$ 1¥JJ!Rffim:llf¾  
(14) EJ�o�� $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { n ! } { n ^ { n } } } \mathbf { \dot { e } } ^ { - n x }$ 1¥] i&��j;J $( a , + \infty )$ 'mu $a = \underline { { \underline { { \vphantom { \biggl | } } } } } $ n � en   
(15) B��� $\pmb { A }$ fl1 ${ \pmb E } - { \pmb A }$ PJ:ifil:,:Jt:q:i $\pmb { \cal E }$ j;Jif!f:IL��.*�� $\pmb { B }$ mL@ $\left[ { \pmb { E } } - \left( { \pmb { E } } - { \pmb { A } } \right) ^ { - 1 } \right] { \pmb { B } } = { \pmb { A } }$ , Jntl $B - A = \mathrm { ~ \small ~ \underline { ~ } ~ } .$   
(16) ia: $A , B , C$ j;Jll.lf!f]Lfi:ftj:, Ji $A$ 1§ $B$ ][�ffl�,A 1§ $c$ ][�ffl�, $B$ 1§ $c$ ffl][J!.it:fr., $P ( A ) \ =$ $P ( B ) = P ( C ) = { \frac { 1 } { 3 } }$ ,Jiltl $P ( B \cup C | A \cup B \cup C ) \ = . . . . .$

# = .. M�lffi( *lm3t 6 ,1,�, 3t 70 � .-��� l±Dt*i�JJ.I, iiEPJ.13:1�:§;!tMi-�ill. )

< 11 ) < * :JI m * 10 * )

i&Ul§� $y ( x )$ �vt{(jtjf;fi $y ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } y = 2 + \sqrt { x }$ 89n!J.JJE�14 $y ( 1 ) = 3$ B9fff,* lilt� $\begin{array} { r } { \boldsymbol { y } = \boldsymbol { y } ( \boldsymbol { x } ) } \end{array}$ !'fJitJri!r�.

(18) <*:!mijt 12 jj-)

E,9;11-"Sjl-ffi[R� $D \ = \ \left\{ \ ( x , y ) \ | \ y - 2 \leqslant x \leqslant { \sqrt { 4 - y ^ { 2 } } } , 0 \leqslant y \leqslant 2 \right\}$ 'it� $I = \iint _ { D } \frac { \left( x - y \right) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y .$ - 2 .

< 19) < *:!m* 12 *)

B9;1llilt� $L$ �liltffi $\Sigma { : } 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 , z \geqslant 0$ B9:itl!/.,liltffi $\pmb { \Sigma }$ JfrPJ:im_t,lilt� $L$ B9Jf lPJ;j;!lliltffi $\pmb { \Sigma }$ B9Jf 1Plrq:-if ,t"-¥f!JJ!tl, it� $I = \oint _ { L } \left( y z ^ { 2 } - \cos z \right) \mathrm { d } x + 2 x z ^ { 2 } \mathrm { d } y + \left( 2 x y z + x \sin z \right) \mathrm { d } z .$

( 20) ( *REm53" 12 53")

ti¾:Rl§fi $f ( x )$ :fl: $( - \infty , + \infty )$ _t�=!m-:li��fi, iJEijij: $f ^ { \prime \prime } ( x ) \geqslant 0$ fl9JE#!IZ,� �-flj:¾xif1f1t�fiiJEl9�fic $^ { a , b }$ ,�� $f \left( { \frac { a + b } { 2 } } \right) \leqslant { \frac { 1 } { b - a } } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x .$ J/x.fl.

(21）（本题满分12分)

ti!:=7X.� $f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ~ = ~ \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ~ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } i j x _ { i } x _ { j } .$

(I) �l±l $f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } )$ xifmIE19�1I$;   
( II) 3JtiE3t�� $\mathbf { \nabla } \mathbf { \mathbf { x } } = Q \mathbf { \nabla } \mathbf { \mathbf { y } }$ � $f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } )$ 1t1-Jfffi7ftf�;   
( fil) >lt $f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ~ = ~ 0$ fl9 •.

(22) <*REm53" 12 53")

t¾: $X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n }$ 1-1* § :f:5],(ajg $\theta$ El9ffifil5J";{p -�,�E19ffiiliMitJLf-F*' $Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , \cdots , Y _ { m }$ 1-1* § :f:5],(a 1-128 E19ffific5J";/p,�,�E19ffiiliMitlLf.F*,ilWJf.F*;i:tl!f.�fl.Jtrp $\theta ( \theta > 0 )$ ¾*��fic. llJJfl f-F* $X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n } , Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , \cdots , Y _ { m }$ ·* $\pmb \theta$ El9:i'i7d�f'&filrtt:I: $\hat { \pmb \theta }$ ,#>Jt $D ( \hat { \boldsymbol { \theta } } )$ .