# 2023 年全国硕士研究生招生考试 (数学一) 试题

# 绝密 ⋆ 启用前

# 考试形式： 闭卷 考试时间： 180 分钟 满分： 150 分

注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效.

2. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记.  
3. 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号.

# 一、选择题：1-10 题.（每题 10 分，共 50 分）

1. 曲线 $y = x \ln \left( \mathrm { e } + { \frac { 1 } { x - 1 } } \right)$ 的斜渐近线方程为( )

A. $y = x + \mathrm { e }$

$\mathrm { B } . \mathrm { ~ } y = x + \frac { 1 } { \mathrm { ~ e ~ } }$

C. y = x

D. $y = x - { \frac { 1 } { \mathrm { e } } }$

2. 若微分方程 $y ^ { \prime \prime } + a y ^ { \prime } + b y = 0$ 的解在 $( - \infty , + \infty )$ 上有界, 则( )

A. $a < 0 , b > 0$

$\mathrm { B } . \mathrm { ~ } a > 0 , b > 0$

C. a = 0, b > 0

D. $a = 0 , b < 0$

3. 设函数 $y = f ( x )$ 由 $\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 t + | t | , } \\ { y = | t | \sin t } \end{array} \right.$ 确定, 则( )

A. $f ( x )$ 连续, $f ^ { \prime } ( 0 )$ 不存在.  
B. $f ^ { \prime } ( 0 )$ 存在, $f ^ { \prime } ( x )$ 在 $x = 0$ 处不连续.  
C. $f ^ { \prime } ( x )$ 连续, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ 不存在.  
D. $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ 存在, $f ^ { \prime } ( x )$ 在 $x = 0$ 处不连续.

4. 已知 $a _ { n } < b _ { n } ( n = 1 , 2 , \cdots )$ , 若级数 $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n }$ 与 $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n }$ 均收敛, 则 $\mathrel { \phantom { = } } \displaystyle { \langle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \rangle }$ “ 绝对收敛”是 “∑ $\because \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n }$ 绝对收敛”的( )

A. 充分必要条件.   
B. 充分不必要条件.   
C. 必要不充分条件.   
D. 既不充分也不必要条件.

5. 已知 $n$ 阶矩阵 $A , B , C$ 满足 $A B C = O , E$ $n$ 阶单位矩阵. 记矩阵 $\left[ \begin{array} { c c } { { O } } & { { A } } \\ { { B C } } & { { E } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { { A B } } & { { C } } \\ { { O } } & { { E } } \end{array} \right] .$ $\left[ \begin{array} { c c } { E } & { A B } \\ { A B } & { O } \end{array} \right]$ 的秩分别为 $r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 }$ , 则( )

A. $r _ { 1 } \le r _ { 2 } \le r _ { 3 }$

B. $r _ { 1 } \leq r _ { 3 } \leq r _ { 2 }$

C. r3 ≤ r2 ≤ r1

$\mathsf { D } . \ r _ { 2 } \leq r _ { 1 } \leq r _ { 3 }$

6. 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( )

$\operatorname { A . } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { a } \\ { 0 } & { 2 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right) } .$

C.

1 a D. 0 2 0 0 2

1 2 $\beta _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 5 } \\ { 9 } \end{array} \right) } , \quad \beta _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } ,$ 7. 已知向量 α1 = 2 , α2 = 1 ， 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 }$ 线性表示，3 1也可由 $\beta _ { 1 } , \beta _ { 2 }$ 线性表示, 则 $\gamma =$ (

, k ∈ R.

8. 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布, 则 $E ( | X - E X | ) = \left( \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } \end{array} } &  \right) \end{array}$

A. 1e .

${ \mathrm { B } } . \ { \frac { 1 } { 2 } } .$

$\mathrm { C . ~ } _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } .$

D. 1.

9. $X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n }$ 为来自总体的 $N \left( \mu _ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \right)$ 的简单随机样本, $Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , \cdots Y _ { n }$ , 为来自总体的 $N \left( \mu _ { 2 } , 2 \sigma ^ { 2 } \right)$ 的简单随机样本, 且两样本相互独立, 记

$$
\bar {X} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} X _ {i}, \bar {Y} = \frac {1}{m} \sum_ {i = 1} ^ {m} Y _ {i}, S _ {1} ^ {2} = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(X _ {i} - \bar {X}\right) ^ {2}, S _ {2} ^ {2} = \frac {1}{m - 1} \sum_ {i = 1} ^ {m} \left(Y _ {i} - \bar {Y}\right) ^ {2}
$$

则( )

A.   
B.   
C.   
D.

10. 设 $X _ { 1 } , X _ { 2 }$ 为来自总体 $\left( \mu , \sigma ^ { 2 } \right)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma ( \sigma > 0 )$ 是末知参数, 若 $\hat { \sigma } = a \left| X _ { 1 } - X _ { 2 } \right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 则 $a = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { \Sigma } } & { \mathbf { \Sigma } } \end{array} \right)$

A. π $\frac { \sqrt { \pi } } { 2 }$

$\mathrm { B } . \ { \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 2 } }$

C. $\sqrt { \pi }$

D.  2π

# 二、填空题：11-16 题.(每题 5 分，共 30 分)

11. 当 $x \to 0$ 时, 函数 $f ( x ) = a x + b x ^ { 2 } + \ln ( 1 + x )$ 与 $g ( x ) = \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - \cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b =$   
12. 曲面 $z = x + 2 y + \ln { \left( 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) }$ 在点 $( 0 , 0 , 0 )$ 处的切平面方程为

13. 设 $f ( x )$ 是周期为 2 的周期函数, 且 $f ( x ) \ = \ 1 - x , x \ \in \ [ 0 , 1 ]$ . 若 $f ( x ) = { \frac { a _ { 0 } } { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos n \pi x$ , 则$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { 2 n } = \qquad \quad .$

14. 设连续函数 $f ( x )$ 满足: $f ( x + 2 ) - f ( x ) = x , \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = 0$ $\int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = _ { - }$   
15. 已知向量 $\alpha _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \alpha _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { - 1 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \alpha _ { 3 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \beta = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) , \gamma = k _ { 1 } \alpha _ { 1 } + k _ { 2 } \alpha _ { 2 } + k _ { 3 } \alpha _ { 3 } + k _ { 4 } \alpha _ { 4 } ,$  , β = 3 . 若$\gamma ^ { \top } \alpha _ { 1 } = \beta ^ { \top } \alpha _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 )$ , 则 $k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } + k _ { 3 } ^ { 2 } = \qquad $   
16. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim B \left( 1 , \frac { 1 } { 3 } \right) , Y \sim B \left( 2 , \frac { 1 } { 2 } \right)$ , 则 $P \{ X = Y \}$ .

# 三、解答题：17-22 小题，共 70 分.

17. (本小题满分 10 分) 设曲线 $y = y ( x ) ( x > 0 )$ 经过点 $( 1 , 2 )$ , 该曲线上任一点 $P ( x , y )$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y ( x )$ ;   
(2) 求函数 $f ( x ) = \int _ { 1 } ^ { x } y ( t ) \mathrm { d } t$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上的最大值.

18. (本小题满分 12 分)

求函数 $f ( x , y ) = \left( y - x ^ { 2 } \right) \left( y - x ^ { 3 } \right)$ 的极值.

19. (本小题满分 12 分)

设空间有界区域 $\Omega$ 由柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 与平面 $z = 0$ 和 $x + z = 1$ 围成. $\Sigma$ 为 $\Omega$ 的边界曲面的外侧. 计算曲面积分

$$
I = \iint_ {\Sigma} 2 x z \mathrm {d} y \mathrm {d} z + x z \cos y \mathrm {d} z \mathrm {d} x + 3 y z \sin x \mathrm {d} x \mathrm {d} y.
$$

20. (本小题满分 12 分)

设函数 $f ( x )$ 在 $[ - a , a ]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:

(1) 若 $f ( 0 ) = 0$ , 则存在 $\xi \in ( - a , a )$ , 使得

$$
f ^ {\prime \prime} (\xi) = \frac {1}{a ^ {2}} [ f (a) + f (- a) ]
$$

(2) 若 $f ( x )$ 在 $( - a , a )$ 内取得极值, 则存在 $\eta \in ( - a , a )$ , 使得

$$
| f ^ {\prime \prime} (\eta) | \geq \frac {1}{2 a ^ {2}} | f (a) - f (- a) |
$$

# 21. (本小题满分 12 分)

已知二次型

$$
f \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}\right) = x _ {1} ^ {2} + 2 x _ {2} ^ {2} + 2 x _ {3} ^ {2} + 2 x _ {1} x _ {2} - 2 x _ {1} x _ {3},
$$

$$
g \left(y _ {1}, y _ {2}, y _ {3}\right) = y _ {1} ^ {2} + y _ {2} ^ {2} + y _ {3} ^ {2} + 2 y _ {2} y _ {3}.
$$

(1) 求可逆变换 $\scriptstyle { \pmb { x } } = { \pmb { P } } { \pmb { y } }$ 将 $f \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } \right)$ 化成 $g \left( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } \right)$ ；  
(2) 是否存在正交变换 $\pmb { x } = \pmb { Q } \pmb { y }$ 将 $f \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } \right)$ 化成 $g \left( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } \right)$ ?

22. (本小题满分 12 分)

$f ( x , y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle { \frac { 2 } { \pi } } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } } \\ { 0 , } \end{array} \right. }$ , x2 + y 2 ≤ 1,设二维随机变量 $( X , Y )$ 的概率密度为 , 求其他.

(1) 求 $X$ 与 $Y$ 的协方差;   
(2) $X$ 与 $Y$ 是否相互独立?  
(3) 求 $Z = X ^ { 2 } + Y ^ { 2 }$ 的概率密度.