# 2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题

# 数学一试题

# 一、选择题： $\mathsf { 1 } \sim \mathsf { 1 0 }$ 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

【1】已知函数 $f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } \mathbf { e } ^ { \cos t } \mathrm { d } t$ ， $g ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \sin x } \mathbf { e } ^ { t ^ { 2 } } \mathrm { d } t$ ，则

（A） $f ( x )$ 为奇函数， $g ( x )$ 为偶函数.

（B） $f ( x )$ 为偶函数， $g ( x )$ 为奇函数.

（C） $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 均为奇函数.

（D） $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 均为偶函数.

【答案】（C）

【2】设 $P = P ( x , y , z ) , Q = Q ( x , y , z )$ 均为连续函数， $\Sigma$ 为曲面 $z = \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$

$( x { \geqslant } 0 , y { \geqslant } 0 )$ 的上侧，则 P y z Q z x d d d d+ = 

（A）

$$
\iint_ {\Sigma} \left(\frac {x}{z} P + \frac {y}{z} Q\right) d x d y
$$

$$
\iint_ {\Sigma} \left(- \frac {x}{z} P + \frac {y}{z} Q\right) d x d y
$$

（C）

$$
\iint_ {\Sigma} \left(\frac {x}{z} P - \frac {y}{z} Q\right) d x d y
$$

（D）

$$
\iint_ {\Sigma} \left(- \frac {x}{z} P - \frac {y}{z} Q\right) d x d y
$$

【答案】（A）

【3】已知幂函数 $\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n }$ 的和函数为 $\ln ( 2 + x )$ ，则 $\sum _ { n = 0 } n a _ { 2 n } =$ 2nna

1（A）6

1 （B） 3 .

（C） 16 .

（D） 1 3 .

【答案】（A）

【4】设函数 $f ( x )$ 在区间( 1,1) − 内有定义， $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = 0$ ，则

（A）当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) } { x } } = m$ 时， $f ^ { \prime } ( 0 ) = m$   
（B）当 $f ^ { \prime } ( 0 ) = m$ 时， $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) } { x } } = m$   
（C）当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ^ { \prime } ( x ) = m$ 时， $f ^ { \prime } ( 0 ) = m$   
（D）当 $f ^ { \prime } ( 0 ) = m$ 时， $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ^ { \prime } ( x ) = m$ 0x→

【答案】（B）

【5】在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，三张平面 $\pi _ { i } : a _ { i } x + b _ { i } y + c _ { i } z = d _ { i } $ $i = 1 , 2 , 3 )$ 位置关系如图所示, 记 $\pmb { \alpha } _ { i } = ( a _ { i } , b _ { i } , c _ { i } ) , \pmb { \beta } _ { i } = ( a _ { i } , b _ { i } , c _ { i } , d _ { i } )$ ,若 $r \left( \begin{array} { l } { \pmb { \alpha } _ { 1 } } \\ { \pmb { \alpha } _ { 2 } } \\ { \pmb { \alpha } _ { 3 } } \end{array} \right) = m , r \left( \begin{array} { l } { \pmb { \beta } _ { 1 } } \\ { \pmb { \beta } _ { 2 } } \\ { \pmb { \beta } _ { 3 } } \end{array} \right) = n$ , 则

（A） $m = 1 , n = 2$   
（B） $m = n = 2$   
（C） $m = 2 , n = 3$   
（D） $m = n = 3$

![](images/8561745929f3f15694857ad2d30723b7cfd5e3576372495900893acfca1237e0.jpg)

【答案】（B）

a【6】设向量 1 = 11− 2 3 a ，若 $\alpha _ { 2 }$ $\alpha _ { 3 }$ 线性相关，且其中任意b1 a两个向量均线性无关，则

(A) $a = 1 , b \neq - 1$

(B) a b= = −1, 1

(C) $a \neq - 2 , b = 2$

(D)  a b = − = 2, 2

【答案】（D）

【7】设 $\pmb { A }$ 是秩为 2 的 3 阶矩阵, $\pmb { \alpha }$ 是满足 $\mathbf { A } \mathbf { \alpha } \mathbf { \alpha } { = } \mathbf { 0 }$ 的非零向量，若对满足 $\pmb { \beta } ^ { \mathrm { T } } \pmb { \alpha } = \pmb { 0 }$ 的任意向量 $\pmb { \beta }$ ，均有 $A { \pmb \beta } = { \pmb \beta }$ ，则

（A） $A ^ { 3 }$ 的迹为 2.

（B） $A ^ { 3 }$ 的迹为 5.

（C） $A ^ { 5 }$ 的迹为 7.

（D） $A ^ { 5 }$ 的迹为 9.

【答案】（A）

【8】设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 是服从 $N \big ( 0 , 2 \big )$ 的正态分布， $Y$ 是服从 $N \left( - 2 , 2 \right)$ 的正态分布，若 $P \left\{ 2 X + Y < a \right\} = P \left\{ X > Y \right\}$ ，则 $a =$

（A） − −2 10

（B） − +2 10

（ ${ \mathrm { ~ C ~ } } ) \ - 2 - { \sqrt { 6 } }$

（D）− +2 6

【答案】（B）

【9】设随机变量X的概率密度为 $f \left( x \right) = \left\{ { 2 { \left( { 1 - x } \right) } , 0 < x < 1 } \atop { 0 , } \quad \stackrel { \mathrm { \tiny ~ \cdot ~ } } { \mathrm { \tiny ~ \cdot ~ } } { \hat { \prod } } \hat { \left| { \Psi } \right| } \right.$ ，在 $X = x$ 的条件下，Y 在区间 $\left( x , 1 \right)$ 上服从均匀分布，则 $\operatorname { c o v } ( \mathrm { { X } , \mathrm { { Y } ) = } }$

1 （A） 36

1 （B） 72

（C） 17 2

（D） 136

【答案】（D）

【10】设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从参数为 λ 的指数分布，令 $Z = \left| X - Y \right|$ ，则下列与 $Z$ 服从同一分布的是

（A） X Y+

（B） X Y+2

（C）2X

（D） X

【答案】（D）

# 二、填空题： $1 1 { \sim } 1 6$ 小题,每小题 5 分,共 30 分

【11】若 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \left( 1 + a x ^ { 2 } \right) ^ { \sin x } - 1 } { x ^ { 3 } } } { \mathrm { = } } 6$ ，则a = . 3x

【答案】6

2d y 【12】设 $z = f ( u , \nu )$ 有二阶连续导数，且df 1,1 （ ） 3d 4d u v= + ，若 $y = f ( \cos x , 1 + x ^ { 2 } )$ ，则2d x 0x=

【答案】5

【13】若 函 数 $f ( x ) = x + 1$ ， 若 $f ( x ) = { \frac { a _ { 0 } } { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos n x$ ， $x \in [ 0 , \pi ]$ ， 则 极 限2 2 1lim sin nn a − = n  → 

【答案】 $- { \frac { 1 } { \pi } }$

【14】微分方程 $y ^ { \prime } { = } \frac { 1 } { \left( x + y \right) ^ { 2 } }$ ，满足条件 $y ( 1 ) = 0$ 的解为

【答案】 $x = \tan ( y + \frac { \pi } { 4 } ) - y$

【15】设实矩阵 $A = \left( \begin{array} { c c } { { a + 1 } } & { { a } } \\ { { a } } & { { a } } \end{array} \right) ~$ ，若对任意实向量 $\pmb { a } = \left( { \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} } \right) , \pmb { \beta } = \left( { \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \end{array} } \right) ;$ , =β ，且满足$( \pmb { a } ^ { \mathrm { T } } \pmb { A } \pmb { \beta } ) ^ { 2 } { \leqslant } \pmb { a } ^ { \mathrm { T } } \pmb { A } \pmb { a } \pmb { \beta } ^ { \mathrm { T } } \pmb { A } \pmb { \beta }$ 都成立，则 $a$ 的取值范围

【答案】 $a \geqslant 0$ .

【16】随机试验每次成功的概率为 $p$ ，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件下全部成功的概率为 $\frac { 4 } { 1 3 }$ 则 $p { = }$

【答案】 $\frac { 2 } { 3 }$

# 三、解答题： $1 7 { \sim } 2 2$ 小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

【17】 （本题满分 10分）

已知平面区域 $D = \{ ( x , y ) { \big | } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \leq x \leq 1 , - 1 \leq y \leq 1 \}$ ,计算 $\iint _ { D } \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mathrm { d } \sigma .$

【答案】 ${ \sqrt { 2 } } + \ln ( 1 + { \sqrt { 2 } } ) - 2$

【18】 （本题满分 12分）

设 $f ( x , y ) = x ^ { 3 } + y ^ { 3 } - \left( x + y \right) ^ { 2 } + 3$ ，曲面 $z = f ( { \boldsymbol { x } } , { \boldsymbol { y } } )$ 在(1,1,1) 处的切平面为 $T$ $T$ 与三个坐标面所围有界区域在xoy面的投影为 $D$ .

（1）求 $T$ 的方程  
（2）求 $f ( x , y )$ 在 $D$ 上的最大值和最小值

【答案】切平面 $x + y + z = 3$ ；最大值21，最小值1727

【19】 （本题满分 12分）

设 $f ( x )$ 二阶可导， $f ^ { \prime } ( 0 ) = f ^ { \prime } ( 0 ) , \left| f ^ { \prime \prime } ( x ) \right| \le 1$ ，证：

（1）  
（2）

【答案】（1）分别在 $x = 0$ 及 $x = 1$ 处使用泰勒公式展开.

（2）对于（1）结果两边同时积分.

【20】 （本题满分 12分）

已知有向曲线 $\pmb { L }$ 为球面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 2 x$ 与平面 $2 x - z - 1 = 0$ 的交线从 z 轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分

$$
\int_ {L} \left(6 x y z - y z ^ {2}\right) d x + 2 x ^ {2} z d y + x y z d z
$$

【答案】 $\frac { 4 \pi } { 5 { \sqrt { 5 } } }$

【21】 （本题满分 12分）

已知数列 $\{ x _ { n } \} , \{ y _ { n } \} , \{ z _ { n } \}$ 满足 $x _ { 0 } = - 1 , y _ { 0 } = 0 , z _ { 0 } = 2$ $x _ { 0 } = - 1$ , 且 $\left\{ \begin{array} { c } { { x _ { n } = - 2 x _ { n - 1 } + 2 z _ { n - 1 } } } \\ { { y _ { n } = - 2 y _ { n - 1 } - 2 z _ { n - 1 } } } \\ { { z _ { n } = - 6 x _ { n - 1 } - 3 y _ { n - 1 } + 3 z _ { n - 1 } } } \end{array} \right. ,$ 记 $\alpha _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { n } } \\ { y _ { n } } \\ { z _ { n } } \end{array} \right\} }$ ，写出满足 $\alpha _ { n } = A \alpha _ { n - 1 }$ 的矩阵 $A$ ，并求 $A ^ { n }$ 及 $x _ { n } , y _ { n } , z _ { n } ( n { = } 1 , 2 , \cdots )$ .

2 0 2 −【答案】 0 2 2A  = − −   ，6 3 3   − −

$$
A ^ {n} = \left( \begin{array}{c c c} - 4 + (- 1) ^ {n + 1} 2 ^ {n} & - 2 + (- 1) ^ {n + 1} 2 ^ {n} & 2 \\ 4 + (- 1) ^ {n} 2 ^ {n + 1} & 2 + (- 1) ^ {n} 2 ^ {n + 1} & - 2 \\ - 6 & - 3 & 3 \end{array} \right),
$$

$$
x _ {n} = 8 + (- 2) ^ {n}, y _ {n} = - 8 + (- 2) ^ {n + 1}, z _ {n} = 1 2.
$$

【22】 （本题满分 12分）

设 总 体 $X \sim U ( 0 , \theta )$ ， $\theta$ 未 知 ， $X _ { 1 } , X _ { 2 } \cdots X _ { n }$ 为 简 单 随 机 样 本 ，$X _ { _ { ( n ) } } = \operatorname* { m a x } ( X _ { _ { 1 } } , X _ { _ { 2 } } \cdots X _ { _ { n } } ) , ~ T _ { _ c } = c X _ { _ { ( n ) } } .$

（1）求 $c$ 时，使得 $T _ { c }$ 为 $\theta$ 的无偏估计.  
（2）记 $h ( c ) = E ( T _ { c } - \theta ) ^ { 2 }$ ，求 $c$ 使得 $h ( c )$ 取最小值.

【答案】（1） $c = { \frac { n + 1 } { n } } \ ; \ ( 2 ) c = { \frac { n + 2 } { n + 1 } } .$ $c = \frac { n + 1 } { n }$ $c = { \frac { n + 2 } { n + 1 } } .$