# 2024年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题

考试时间：180分钟，满分：150分

一、选择题： $1 \sim 10$ 小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

已知函数 $f(x) = \int_0^x\mathrm{e}^{\cos t}\mathrm{d}t$ ， $g(x) = \int_0^{\sin x}\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t$ ，则1.

A. $f(x)$ 为奇函数, $g_{(x)}$ 为偶函数  
B. $f(x)$ 为偶函数, $g_{(x)}$ 为奇函数  
C. $\mathrm{f}\left( \mathrm{x}\right)$ 与 ${\mathrm{g}}_{\left( \mathrm{x}\right) }$ 均为奇函数  
D. $\mathrm{f}\left( \mathrm{x}\right)$ 与 ${\mathrm{g}}_{\left( \mathrm{x}\right) }$ 均为周期函数

【答案】C

设 $P = P(x,y,z),Q = Q(x,y,z)$ 均为连续函数，

$\Sigma$ 为曲面 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ （ $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ）的上侧，则 $\iint_{\Sigma} P \mathrm{d}y \mathrm{~d}z + Q \mathrm{~d}z \mathrm{~d}x =$

A. $\iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P + \frac{y}{z} Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

B. $\iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P + \frac{y}{z} Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$   
$\iint \limits_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P - \frac{y}{z} Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$   
D.

【答案】A

3.

已知幂函数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2 + x)$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n} =$

A. $-\frac{1}{6}$   
B. $-\frac{1}{3}$   
C. $\frac{1}{6}$   
D. $\frac{1}{3}$

【答案】A

设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义， $\lim_{x\to 0}f(x) = 0$ ，则

当 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = m$ 时， $f^{\prime}(0) = m$ A.  
当 $f^{\prime}(0) = m$ 时， $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = m.$ B.  
当 $\lim_{x\to 0}f'(x) = m$ 时， $f^{\prime}(0) = m$ C.  
当 $f^{\prime}(0) = m$ 时， $\lim_{x\to 0}f'(x) = m$ D.

【答案】B

在空间直角坐标系 $O - xyz$ 中，三张平面 $\pi_{i}:a_{i}x + b_{i}y + c_{i}z = d_{i}$

$(i = 1,2,3)$ 位置关系如图所示，记 $\pmb{\alpha}_{i} = (a_{i},b_{i},c_{i}),\pmb{\beta}_{i} = (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i})$

若 $r\left( \begin{array}{l}\pmb{\alpha}_1\\ \pmb{\alpha}_2\\ \pmb{\alpha}_3 \end{array} \right) = m,r\left( \begin{array}{l}\pmb {\beta}_1\\ \pmb {\beta}_2\\ \pmb {\beta}_3 \end{array} \right) = n$ ，则

![](images/fe951ed74c2efdc3e42c9e25c46887fd8cd8c2e2684a82656a733980c354d748.jpg)

A. $m = 1, n = 2$

B. $m = n = 2$   
C. $\mathrm{m} = 2,\mathrm{n} = 3$   
D. $m = n = 3$

【答案】B

设向量 $\alpha_{1} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\alpha_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{pmatrix}$ , $\alpha_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , 若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则

6.

A. $a = 1, b \neq -1$   
B. $a = 1, b = -1$   
C. $a \neq -2, b = 2$   
D. $a = -2, b = 2$

【答案】D

7.

3阶矩阵A的秩为2非零向量满足Aα=0，任意向量β，使得βα=0且Aβ=β，则下列结论正确的是

A. $A^{3}$ 的迹为 2  
B. $A^{3}$ 的迹为 5  
C. $A^{5}$ 的迹为 7  
D. $A^{5}$ 的迹为 9

【答案】A

8. 设随机变量 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 独立， $\mathrm{X}$ 服从 $\mathrm{N}(0,2)$ 的正态分布， $\mathrm{Y}$ 服从 $\mathrm{N}(-2,2)$ 的正态分布，若 $\mathrm{P}\{2\mathrm{X} + \mathrm{Y} < \mathrm{a}\} = \mathrm{P}\{\mathrm{X} > \mathrm{Y}\}$ ，则 $\mathrm{a} =$

A. $-2 - \sqrt{10}$   
B. $-2 + \sqrt{10}$   
C. $-2 - \sqrt{6}$

D. $-2 + \sqrt{6}$

【答案】B

设随机变量X的概率密度为f(x)= $\begin{array}{rlr}{2(1 - x),} & {} & {0 <   x <   1}\\ {0,} & {} & {\text{其他}} \end{array}$ ，在 $X = x$ 的条件下，Y在区间（x,1）上服从均匀分布，则 $\operatorname {cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) =$

A. $-\frac{1}{36}$   
B. $-\frac{1}{72}$   
C. $\frac{1}{72}$   
D. $\frac{1}{36}$

【答案】D

10. 设随机变量 $X$ ， $Y$ 相互独立，且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，令 $Z = |X - Y|$ ，则下列随机变量与 $Z$ 同分布的是

A. $X + Y$   
B. $\frac{X + Y}{2}$   
C. 2X   
D.X

【答案】D

二、填空题： $11\sim 16$ 小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。

若 $\lim_{x\to 0}\frac{\left(1 + ax^2\right)^{\sin x} - 1}{x^3} = 6$ 则 $a =$ 11.

【答案】6

$$
z = f (u, v) \text {有 二 阶 连 续 导 数 ，} \mathrm {d} f \big | _ {(1, 1)} = 3 \mathrm {d} u + 4 \mathrm {d} v,
$$

$$
y = f (\cos x, 1 + x ^ {2}) \text {, 则} \frac {\mathrm {d} ^ {2} y}{\mathrm {d} x ^ {2}} \Bigg | _ {x = 0} =
$$

12.

【答案】5

13.

若函数f（x）-x+1.若f（x）=a+∑αcosx.x∈[0,π].则极限limn²sinα

【答案】 $-\frac{1}{x}$

微分方程 $y' = \frac{1}{(x + y)^2}$ ，满足条件 $y(1) = 0$ 的解为

14.

【答案】

$$
x = \tan \left(y + \frac {\pi}{4}\right) - y.
$$

设实矩阵 $A = \begin{pmatrix} a + 1 & a \\ a & a \end{pmatrix}$ ，若对任意实向量 $\alpha = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ ， $\beta = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ ， $\beta = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$

15.

$(\alpha^T \mathbf{A} \beta)^2 \leq \alpha^T \mathbf{A} \alpha \beta^T \mathbf{A} \beta$ 都成立，则 $a$ 的取值范围是

【答案】 $a \geqslant 0$

16. 随机试验每次成功的概率为 $\mathrm{P}$ ，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件下全部成功概率为 $\frac{4}{13}$ ，现 $\mathrm{P} =$

【答案】 $\frac{2}{3}$

三、解答题: 17-22 小题, 共 70 分。请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知平面区域D={（x，y）|√1-y²≤x≤1,-1≤y≤1}，计算 ∫x dσ.

17.

【答案】 $\sqrt{2} +\ln (1 + \sqrt{2}) - 2$

18. 设 $f(x, y) = x^3 + y^3 - (x + y)^2 + 3$ ，曲面 $z = f(x, y)$ 在 $(1, 1, 1)$ 处的切平面为 $T$ ， $T$ 与三个坐标面所围有界区域在 $xoy$ 面的设影为 $D$

（1）求T的方程  
（2）求 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值

【答案】切平面 $x + y + z = 3$ ；最大值21，最小值 $\frac{17}{27}$

设 $f(x)$ 二阶可导， $f^{\prime}(0) = f^{\prime}(0).|f^{\prime \prime}(x)|\leq 1$ ，证：

1）|f（x）-f(0)(1-x）-f(1)x|≤x（1-x）/2  
2） $\left|\int_0^1 f(x)dx - \frac{f(0) + f(1)}{2}\right|\leq \frac{1}{12}$

19.

【答案】（1）泰勒公式 （2）把（1）代入

20. 已知有向曲线 L 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2x$ 与平面 $2x - z - 1 = 0$ 的交线从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分 $\int_{L} (6xyz - yz^{2}) dx + 2x^{2} z dy + xyz dz$

【答案】 $\frac{4\pi}{5\sqrt{5}}$

已知数列 $\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}$ 满足 $x_0 = -1, y_0 = 0, z_0 = 2$ 且 $\left\{ \begin{array}{l} x_n = -2x_{n-1} + 2z_{n-1} \\ y_n = -2y_{n-1} - 2z_{n-1} \\ z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1} \end{array} \right.$ ,

记 $\alpha_{n} = \left\{ \begin{array}{l}x_{n}\\ y_{n}\\ \vdots \end{array} \right\}$ ，写出满足 $\alpha_{n} = A\alpha_{n - 1}$ 的矩阵 $A$ ，并求 $A^n$ 及 $x_{n},y_{n},z_{n}(n = 1,2,\dots)$

21.

【答案】 $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix}, A^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} -4 + (-1)^{n+1}2^{n} & -2 + (-1)^{n+1}2^{n} & 2 \\ 4 + (-1)^{n+1}2^{n} & 2 + (-1)^{n}2^{n+1} & -2 \\ -6 & 3 & 0 \end{pmatrix}$ ,

$$
x _ {n} = 8 + (- 2) ^ {n}, y _ {n} = - 8 + (- 2) ^ {n}, z _ {n} = 1 2.
$$

22.

设总体 $X \sim U(0, \theta)$ ， $\theta$ 未知， $X_1, X_2, \dots, X_n$ 为简单随机样本，

$$
X _ {(n)} = \max  \left(X _ {1}, X _ {2} \dots X _ {n}\right), T _ {c} = c X _ {(n)}.
$$

（1）求c时，使得T为θ的无偏估计  
（2）记 $h(c) = E(T_c - \theta)^2$ ，求c使得h(c)取最小值

【答案】（1） $c = \frac{n + 1}{n};$ （2） $c = \frac{n + 2}{n + 1}$